Encontrar una coincidencia cuya contracción minimice el número de arcos en un gráfico

Dado un gráfico mixto $G=(V,E,A)$ con bordes $E$ y arcos $A$ , encuentre una coincidencia en $E$ que minimice el número de arcos en $G/M$ , donde $G/M$ se obtiene de $G$ al contraer vértices coincidentes y eliminar arcos paralelos

¿Es (la versión de decisión de) este problema NP-completo? ¿Ha sido estudiado en la literatura?

No sé si su intención es permitir que los bordes no dirigidos en E y los arcos en A sean paralelos o no, pero al final no importa. En esta respuesta, suponemos que no permite que los bordes y los arcos sean paralelos.

Considere un caso especial donde para cada arco en A , A también contiene el arco en la dirección opuesta. En este caso, podemos ignorar la orientación de los arcos y considerar que no están dirigidos. Llamamos bordes en E bordes negros y bordes en A bordes rojos .

$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$y por un borde rojo si y solo si la cláusula no aparece en φ .$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

Está claro que solo tenemos que considerar las coincidencias máximas en los bordes negros para minimizar el número de bordes rojos después de la contracción. También está claro que cada M máxima coincidente en los bordes negros consiste en n bordes que conectan a para i = 1, ..., n . Identifique esta coincidencia máxima M con asignación de verdad . Es fácil verificar que después de contraer M y eliminar bordes paralelos, el gráfico tiene exactamente bordes rojos, donde k$v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$$4\binom{n}{2}-k$es el número de cláusulas satisfechas por esta asignación de verdad. Por lo tanto, minimizar el número de bordes rojos después de contraer una coincidencia en los bordes negros es equivalente a maximizar el número de cláusulas satisfechas.