¿Existen grupos con problemas verbales en grados P arbitrarios?

Se sabe desde hace mucho tiempo que, dado cualquier grado de re Turing, existe un grupo finitamente presentado cuyo problema de palabras está en ese grado. Mi pregunta es si lo mismo es cierto para los grados de Turing de tiempo polinómico arbitrario . Específicamente, dado un conjunto decidible, , ¿existe un grupo finitamente presentado, con un problema verbal, W , tal que W ≤ P T A y A ≤ P T W ? También estaría dispuesto a relajarme finitamente presentado a recursivamente presentado.$A$$W$$W\leq_T^P A$$A\leq_T^P W$

Sospecho que la respuesta es sí, y he escuchado a otros decir que leyeron esto en alguna parte, pero no he podido buscar una referencia.

Creo que esto no se sabe. (Pido disculpas, creo que también fui una de las personas que dijo haber recordado haber leído esto en alguna parte). Por ejemplo, creo que Sapir-Birget-Rips, Annals of Math 2002 fueron los primeros en mostrar la existencia de un grupo con problema verbal completo (que sería una consecuencia trivial del resultado solicitado en esta pregunta). Su Corolario 1.1 establece:$\mathsf{NP}$

Existe un grupo finito presentado con un problema de palabras NP-completo. Además, para cada lenguaje para algún alfabeto finito A , existe un grupo G finitamente presentado de tal manera que la complejidad temporal no determinista de G es polinomialmente equivalente a la complejidad temporal no determinista de$L \subseteq A^*$$A$$G$$G$ .$L$

Si bien la segunda mitad de este corolario tiene un espíritu similar al de esta pregunta, está muy lejos de demostrar que cada grado contiene un problema verbal.$\leq_T^p$