PARITY con fanout limitado: ¿prueba fácil?

$AC^0$ es la clase de circuitos de tamaño polinomial de profundidad constante con compuertas NO y compuertas AND y OR de ventilador sin límites, donde las entradas y las puertas también tienen un fanout sin límites.

Ahora considere una nueva clase, que es como pero para la cual las entradas y las puertas tienen un abanico como máximo . Esta clase está claramente en . De hecho, está estrictamente contenido en , como se indica aquí . Por lo tanto, PARITY obviamente no está en . $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $O(1)$ $AC^0$ $AC^0$ $AC^0_{bf}$

¿Hay alguna prueba de PARITY que no pasa por ? En otras palabras, ¿hay alguna prueba que no utilice técnicas poderosas como el lema de conmutación o el método Razborov / Smolensky? $\notin AC^0_{bf}$ $AC^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Adam Paetznick
fuente

Esto se llama en la literatura: qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo:N#nc0

{N C}^{0}

$\mathsf{NC}^0$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

No, no lo es, ya que el fanin no tiene límites.

— domotorp

Ah, leí mal la palabra fanout. Gracias por señalar

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Publicación relacionada de @Kaveh: cstheory.stackexchange.com/q/1824/1800 , movida de los comentarios a continuación para aumentar la exposición.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

¿Qué es 'fanout limitado', por cierto?

— xxx ---

Respuestas:

Puedo perder algo, pero ¿ lo mismo que una Fórmula? Dado que cada bit de entrada puede tener un efecto en un máximo de un número limitado de puertas, simplemente podemos suponer que cada puerta tiene solo una salida (después de posiblemente duplicar algunas cosas) y también podemos empujar hacia abajo no puertas. Sabemos que el tamaño de la fórmula de paridad es n ^ 2 (ver Troy J. Lee, " El tamaño de la fórmula de PARITY ", 2007) y dado que en todos los niveles de nuestro circuito solo podemos tener compuertas O (n), esto muestra que la paridad no está en . $AC^0_{bf}$ $AC^0_{bf}$

— domotorp
fuente

así que por "Fórmula" te refieres a la fórmula de tamaño lineal, ¿verdad? y por tamaño te refieres al tamaño de la fórmula ...

— Alessandro Cosentino

Creo que su respuesta es correcta al final, pero el razonamiento es más sutil. El despliegue de la puerta puede reducirse duplicando partes del circuito, pero esto aumenta el tamaño de la fórmula. (El tamaño de la fórmula es equivalente a la cantidad de cables de entrada). Digamos que el despliegue de la compuerta es como máximo 2. Luego, para reducir el despliegue de las compuertas de la capa inferior, necesito duplicar cada compuerta y cada entrada, duplicando el tamaño de la fórmula. La repetición de este proceso para cada capa produce una fórmula de tamaño donde es la profundidad del circuito. En nuestro caso, es una constante, por lo que el tamaño de la fórmula sigue siendo lineal.

O (2^{d} n)

$O(2^dn)$

d

$d$

d

$d$

— Adam Paetznick

Esto era exactamente lo que quería decir, perdón si mi exposición era pobre.

— domotorp

@Alessandro: Lo siento si entendí mal tu pregunta. Pero mi primera impresión es que uno puede transformar cualquier circuito de profundidad-d de tamaño en una fórmula de profundidad-d (fanout 1) de tamaño sobre : simplemente vaya capa por capa comenzando desde la parte inferior (al lado de las entradas ) capa y tomar múltiples copias de la misma puerta; en cada capa el número de puertas puede aumentar en, como máximo, el factor de . Esto significa que cualquier límite inferior para las fórmulas implica un límite inferior para circuitos . Por lo tanto, es difícil esperar pruebas de límite inferior más fáciles para $S$ $S^d$ $S$ $S$ $AC^0$ $S^{1/d}$ $AC^0$ $AC^0$ fórmulas: en el mundo de , es una constante. $AC^0$ $d$

Por cierto, tu lenguaje (cadenas con exactamente ) tiene un DNF trivial ( fórmula de profundidad 2 ) con monomios. $X$ $1$ $n$

— Stasys
fuente

me parece que podemos hacerlo mejor que ya que los despliegues están limitados, podemos obtener donde es el despliegue máximo. Además, dado que cada bit de entrada se usa solo un número limitado de veces, el tamaño del circuito ( ) es lineal.

S^{d}

$S^d$

k^{d} S

$k^dS$

k

$k$

S

$S$

— Kaveh

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

A C^{0}

$AC^0$

k n

$kn$

k^{2} n

$k^2n$

O (n)

$O(n)$

A C^{0}

$AC^0$

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

¿Alguien puede decirme por qué este modelo de "no más de k copias de una variable de entrada" es interesante? Incluso cuando la profundidad es constante. ¿En qué contexto surge tal modelo? Solo tengo curiosidad.

— Stasys

Q A C^{0}

$QAC^0$

A C^{0}

$AC^0$

n \log n

$n\log n$