Relación entre la dureza del reconocimiento de una clase gráfica y la caracterización prohibida de subgrafos

Estoy considerando clases de gráficos que pueden caracterizarse por subgrafos prohibidos.

Si una clase de gráfico tiene un conjunto finito de subgrafos prohibidos, entonces hay un algoritmo de reconocimiento de tiempo polinómico trivial (uno puede usar la fuerza bruta). Pero una familia infinita de subgrafos prohibidos no implica dureza: hay algunas clases con una lista infinita de subgrafos prohibidos de tal manera que el reconocimiento también se puede probar en tiempo polinómico. Los gráficos Chordal y Perfect son ejemplos pero, en esos casos, hay una estructura "agradable" en la familia prohibida.

¿Existe alguna relación conocida entre la dureza del reconocimiento de una clase y el "mal comportamiento" de la familia prohibida? Tal relación debería existir? Este "mal comportamiento" se ha formalizado en alguna parte?

cc.complexity-theory graph-theory np-hardness

— Vinicius dos Santos
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Respuestas:

Aunque parece intuitivo que la lista de prohibidas (inducidas) para una clase de gráficos que tiene reconocimiento NP-hard debería poseer cierta complejidad "intrínseca", recientemente he encontrado algunas evidencias negativas sorprendentes de esta intuición en el literatura. $\mathscr{C}$

Quizás el más simple de describir es el siguiente, tomado de un artículo de B. Lévêque, D. Lin, F. Maffray y N. Trotignon .

Sea la familia de gráficos que se componen de un ciclo de longitud de al menos cuatro, más tres vértices: dos adyacentes al mismo vértice del ciclo y uno adyacente a un vértice del ciclo, donde y son no consecutivos en el ciclo (y sin otras aristas). $F$ $u$ $v$ $u$ $v$

Ahora deje que sea la familia de gráficos que se componen exactamente de la misma manera, excepto que agrega cuatro vértices: dos adyacentes al mismo vértice del ciclo (como antes), pero ahora dos adyacentes al mismo vértice del ciclo, donde nuevamente y no son consecutivos. $F'$ $u$ $v$ $u$ $v$

Entonces, la clase de gráficos que tiene como subgrafías inducidas prohibidas tiene reconocimiento de tiempo polinomial, mientras que el reconocimiento de la clase que tiene como subgrafías inducidas prohibidas es NP-duro. $F$ $F'$

Por lo tanto, me resulta difícil concebir una condición general que una lista de subgrafías inducidas prohibidas tenga que satisfacer cuando da como resultado una clase con reconocimiento duro (NP-), teniendo en cuenta que dicha condición tendrá que separar lo "muy similar" y arriba. $F$ $F'$

— Hugo Nobrega
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Buena respuesta, eso es bastante delicado.

— Suresh Venkat

Interesante. ¿Hay alguna posibilidad de que esto tenga algo que ver con la expresividad de la lógica requerida para describir el patrón? Estoy pensando en algo parecido a los lenguajes formales, donde la complejidad de un lenguaje puede caracterizarse de manera equivalente por la forma en que se define (expresión regular, gramática formal ...) o la máquina requerida para reconocerlo (autómata, pushdown ...) o la expresividad de la lógica requerida para escribir una fórmula que caracterice las palabras del idioma (MSO para los idiomas regulares, por ejemplo).

— a3nm

Esa es una idea interesante, pero de nuevo no puedo evitar pensar que

están tan cerca que es difícil imaginar una forma de "separarlos" de esa manera (digamos que

es describible en un lenguaje que

no es ) ¡Aunque podría ser demasiado negativo ...! Es cierto que estoy haciendo "intuición" aquí, así que me alegraría que me demuestren que estoy equivocado.

F

$F$

F^{'}

$F'$

F

$F$

F^{'}

$F'$

— Hugo Nobrega

F^{'}

$F'$

u

$u$

v

$v$

F_{0}

$F_0$

F

$F$

F_{0}

$F_0$

F_{0}

$F_0$

La respuesta de @Hugo es realmente agradable, y aquí quiero agregar algunas opiniones personales.

Hay familias relacionadas similares a las gráficas en la familia F y F '. Los gráficos de la familia B1 en el artículo generalmente se llaman pirámides. Y los gráficos en la familia B2 generalmente se llaman prismas. Vea la respuesta aquí para una ilustración. En la literatura sobre problemas de detección de subgrafos inducidos, se usaron para detectar agujeros pares / impares, que son ciclos sin acordes con longitud par / impar. Según el famoso teorema del gráfico perfecto fuerte, un gráfico G es perfecto si G y el complemento de G no contienen agujeros impares.

Para las familias de pirámides y prismas, de hecho, hay diferencias entre ellas: una tiene un subárbol inducido de tres hojas y la otra no. Esto se llama el problema "tres en un árbol" , que ha sido estudiado por Chudnovsky y Seymour. Es sorprendente que determinar si hay un árbol inducido que contiene tres nodos dados es manejable, mientras que el problema de "cuatro en un árbol centrado" es NP-difícil . (Un árbol centrado es un árbol con como máximo un nodo con un grado mayor que 2.) Las diferencias entre F y F 'parecen ser causadas por la misma razón.

Pero parece que una caracterización completa sigue siendo difícil, porque ni siquiera conocemos la complejidad de detectar gráficos en algunas de las familias que se ve lo suficientemente simple, como gráficos sin agujeros impares (!). Y para las familias que sabemos que existe un algoritmo de tiempo polinómico, como gráficos perfectos y gráficos libres de agujeros, aunque existen estrategias generales (basadas en descomposiciones) para diseñar un algoritmo, uno debe proporcionar un teorema estructural específico para ellos. Este suele ser un proceso que depende de la familia, y la mayoría de las veces las pruebas son realmente largas. ( Aquí hay un ejemplo para el gráfico sin agujeros pares, donde el papel tiene más de 90 páginas).

Aun así, sería interesante tener algunas clasificaciones para los problemas de detección de subgrafos inducidos, en el sentido del problema de tres en un árbol.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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