Programa GCT de Mulmuley

A veces se afirma que la Teoría de la Complejidad Geométrica de Ketan Mulmuley es el único programa plausible para resolver las preguntas abiertas de la teoría de la complejidad como la pregunta P vs. NP. Ha habido varios comentarios positivos de famosos teóricos de la complejidad sobre el programa. Según Mulmuley, llevará mucho tiempo lograr los resultados deseados. Entrar en el área no es fácil para los teóricos de la complejidad general y necesita esfuerzos considerables para manejar la geometría algebraica y la teoría de la representación.

1. ¿Por qué se considera que GCT es capaz de resolver P vs. NP? ¿Cuál es el valor del reclamo si se espera que tarde más de 100 años en llegar allí? ¿Cuáles son sus ventajas para otros enfoques actuales y aquellos que pueden aumentar en los próximos 100 años?

2. ¿Cuál es el estado actual del programa?

3. ¿Cuál es el próximo objetivo del programa?

4. ¿Ha habido alguna crítica fundamental al programa?

Preferiría respuestas que sean entendibles por un teórico de la complejidad general con el mínimo conocimiento de geometría algebraica y teoría de la representación asumida.

Como lo señalaron muchos otros, Mulmuley, Regan y otros ya han dicho mucho sobre muchas de estas preguntas. Ofreceré aquí solo un breve resumen de lo que creo que son algunos puntos clave que aún no se han mencionado en los comentarios.

1. En cuanto a por qué GCT se considera plausiblemente capaz de mostrar ya se han dado muchas respuestas en otros lugares y en los comentarios anteriores, aunque creo que nadie ha mencionado aún que parece evitar las barreras conocidas (relativización, algebrización, pruebas naturales ) En cuanto a su valor, creo que incluso si nos lleva 100 años, aprenderemos algo nuevo sobre la complejidad en el camino al estudiarlo desde este ángulo.$P \neq NP$

2. • Se está progresando en la comprensión de las variedades algebraicas, las representaciones y las preguntas algorítmicas que surgen en GCT. Los principales investigadores que conozco que han trabajado en esto son (sin ningún orden en particular): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar y, por supuesto, K. Mulmuley y M. Sohoni.

   • Más concretamente, Burgisser e Ikenmeyer acaban de presentar (STOC 2011) algunos límites inferiores modestos en la multiplicación de matrices utilizando el enfoque GCT ( , en comparación con los 3 más conocidos actualmente$n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal tiene un par de documentos sobre la cuestión algorítmica de las pruebas cuando un polinomio está en la órbita de otro o es una proyección de otro. Él muestra que, en general, estos problemas son NP-hard pero que para funciones especiales como polinomios simétricos permanentes, determinantes y elementales, estos problemas son decidibles en P. Este es un paso hacia algunas de las conjeturas de Mulmuley (que ciertos problemas más difíciles: decidir la órbita cierre - están en P para funciones especiales como determinante).

3. No tengo mucho más específico que decir sobre esto que la respuesta a 2.

4. Hasta donde sé, no ha habido críticas fundamentales , en el sentido de que no he visto ninguna crítica que realmente desacredite al programa de ninguna manera. Ciertamente se ha debatido sobre por qué deberían ser necesarias tales técnicas, el valor del programa dados los horizontes esperados a largo plazo, etc., pero yo los caracterizaría más como una discusión saludable que como una crítica fundamental.

Creo que este artículo de Ketan D. Mulmuley responderá al menos a la pregunta n. ° 1 (posiblemente 2) sobre P vs. NP y teoría de la complejidad geométrica