Permanente de una matriz y partir de determinantes

Sea una matriz o con entradas . ¿Alguien puede proporcionarme una matriz para que ? ¿Cuál es la explícita más pequeña que se conoce de modo que ? ¿Alguna referencia sobre esto con ejemplos explícitos? $A$ $3 \times 3$ $4 \times 4$ $a_{ij}$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Algunas restricciones podrían ser los siguientes casos:

Caso Sólo lineal funcionales están permitidos como entradas de . $(1)$ $B$

Caso Se permiten funciones no lineales siempre que cada término tenga un grado de máximo (grado es la suma del grado de variables) donde es el tamaño de la matriz involucrada. En nuestro caso, hasta grado . $(2)$ $O(log(n))$ $n$ $2$

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— vs
fuente

@vs ¿Cuáles son las restricciones sobre ? Si no hay ninguno, entonces es una matriz con , pero Supongo que eso no es lo que tenías en mente. Típicamente uno permite las entradas de a ser funciones lineales afines de las variables en .

B

$B$

si = (\begin{matrix} por (UNA) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$

1 \times 1

$1 \times 1$

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$

B

$B$

A

$A$

— Tyson Williams

[EDITAR]

Por coherencia, cambié las notaciones de a . $c(n)$ $dc(n)$
Se preguntó por vs en los comentarios si mi respuesta se generaliza a dimensiones superiores. Lo hace y da un límite superior sobre cualquier campo: Vea mi borrador sobre esto: Un límite superior para el problema permanente versus el determinante . $d c (n) \leq 2^{n} - 1)$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/EDITAR]

[Un comentario lateral: creo que podría editar su pregunta anterior en lugar de crear una nueva].

Tengo la siguiente respuesta para ti:

por (\begin{matrix} una & si & C \\ re & mi & F \\ sol & h & yo \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 0 & una & re & sol & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & yo & F & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & C & yo \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & C & 0 0 & F \\ mi & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 \\ h & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 \\ si & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Tenga en cuenta que al buscar tales referencias sobre ejemplos explícitos, no pude encontrar ninguno y, por lo tanto, el ejemplo que le doy es un ejemplo que construí.

Esta pregunta que hace se denomina comúnmente "Problema permanente versus determinante". Supongamos que se nos da una de la matriz , y queremos la matriz más pequeña de tal manera que . Denotemos por las dimensiones de la más pequeña . Aquí están los resultados históricos: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon y Ressayre 2004] en la característica $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen y Li 2008] en la característica . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Esto muestra que (el límite superior es la matriz dada anteriormente). $5\le dc(3)\le 7$

Como soy vago, solo te doy una referencia donde puedes encontrar las otras. Es el artículo más reciente que cité, por Cai, Chen y Li: un límite inferior cuadrático para el problema permanente y determinante sobre cualquier característica $\neq 2$ .

Si lees francés, también puedes echar un vistazo a mis diapositivas sobre este tema: permanente versus determinante .

— Bruno
fuente

Muchas gracias. Olvidé mencionar que estaba familiarizado con los límites inferiores lineales y cuadráticos. Su ejemplo es nuevo para mí y, por supuesto, veré sus diapositivas en francés :)

— vs

Para convertir una fórmula en un determinante, es un resultado (clásico?) De Valiant en 1979. Explicamos este resultado en nuestro artículo en la Sección 2.1 (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— Bruno

Para

, tenga en cuenta que hay una constante en O (n2 ^ n) de modo que 24 no es el valor correcto. Sin embargo, creo que mi ejemplo es mejor que simplemente aplicar la fórmula de Ryser + la construcción de Valiant. Esto es bastante normal, ya que uno puede imaginar que pasar de lo permanente a una fórmula y luego a un determinante no es la mejor manera de hacerlo. No diría que mi ejemplo es "mejor que el de Ryser" ya que los objetivos no son los mismos. Tenga en cuenta también que las fórmulas de Glynn o Ryser no son tan buenas como la fórmula trivial para

, solo lo superan asintóticamente.

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— Bruno

Eché un nuevo vistazo al papel de JY Cai. El teorema 3 da un mejor límite:

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Bruno

@Bruno: excelente respuesta!

— Dai Le