Problema de ubicación de la instalación capacitada euclidiana

En el Fondo capacitado Localización de problemas (CFLP) , se nos da un conjunto de clientes y un conjunto de posibles instalaciones . Cada cliente tiene una demanda que debe ser atendida por una o más instalaciones abiertas. Cada instalación tiene un coste de apertura y tiene una capacidad , que es la demanda máxima de esa instalación puedo servir. El costo de atender una demanda unitaria del cliente en la instalación es $C$ $F$ $j \in C$ $d_j$ $i \in F$ $f_i$ $u_i$ $i$ $j$ $i$ $c_{ij}$ . Queremos abrir un subconjunto de instalaciones y asignar la demanda de los clientes para abrir las instalaciones de manera que se cumplan las demandas de todos los clientes, no se violen las restricciones de capacidad y se minimice el costo total de abrir instalaciones y atender a los clientes. Los costos del servicio son no negativos, simétricos y satisfacen la desigualdad del triángulo.

Arora en [ 1 , página 21] afirma que "Arora, Raghavan y Rao [ 2 ] dan un PTAS para el caso geométrico. Extienden el algoritmo al caso capacitado pero la solución final puede violar las limitaciones de capacidad en una pequeña cantidad". ¿Qué quiere decir con "pequeña cantidad"? Supongo que significa que dan un PTAS que viola las restricciones de capacidad dentro del factor para un arbitrario . ¿Es esto correcto? $(1+\epsilon)$ $\epsilon > 0$

Cuando busqué en [ 2 ], el único resultado relacionado que encontré fue un algoritmo de tiempo para encontrar una solución aproximada para el problema -mediano capacitado cuando tienen capacidades uniformes. ¿Arora se refiere al resultado anterior en [ 1 ]? $n^{O(\log^2 (n / \epsilon))}$ $(1+\epsilon)$ $k$

[ 1 ] S. Arora. Esquemas de aproximación para problemas de optimización geométrica NP-hard: una encuesta. En matemáticas. Programación, Ser. B, vol. 97, pp 43-69, 2003.

[ 2 ] S. Arora, P. Raghavan y S. Rao. Esquemas de aproximación para las medianas k euclidianas y problemas relacionados. En proc. 30 ° Simposio de ACM sobre Teoría de la Computación, pp 106-113, 1998.

ds.algorithms cg.comp-geom approximation-algorithms

— Babak Behsaz
fuente

Si recuerdo correctamente, debe aproximar el número de clientes conectados a cada puerta. De lo contrario, obtendría inmediatamente algo como , donde es el número de puertas en un subproblema. Al aproximar este número a un facotr de toda la programación dinámica, se puede obtener un error al final. Eso generaría tiempos de ejecución similares a los que mencionó anteriormente. $O(n^{O(g)})$ $g$ $(1+\varepsilon/\log n)$ $(1+\varepsilon)$

— Sariel Har-Peled
fuente

Si lo entiendo bien, quiere decir que su algoritmo se extiende a un QPTAS con

violación de capacidades para el problema uniforme de ubicación de instalaciones capacitadas. Me pregunto si hay un PTAS con

violación para este problema.

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$

— Babak Behsaz

Esa es de hecho una pregunta interesante. En ese momento parecía que se podía extender el papel de Kolliopoulos y Rao para hacer esto.

— Sariel Har-Peled

Estuve pensando lo mismo por un tiempo, pero cuando volví a leer la prueba del Teorema 4 de [Kolliopoulos-Rao-ESA'99] hace unos meses, descubrí que no puedes aplicar ese teorema como una caja negra. La razón es que en la prueba asumen que uno puede asignar un cliente a cualquier instalación abierta, mientras que en el caso capacitado puede violar las capacidades con esta modificación. Puede haber una forma simple de evitar esto, no he pensado mucho al respecto.

— Babak Behsaz