Deje que G sea un árbol en 2n vértices. El ancho de árbol de G, tw (G) = 1. Ahora supongamos que agregamos n aristas a G para obtener un gráfico H. Un límite superior fácil en tw (H) es n + 1. ¿Es esto esencialmente el mejor posible?
Parece de alguna manera que tw (H) debería ser O (sqrt (n)), pero esto es solo un presentimiento vago. ¿Conocemos mejores límites superiores que O (n) para el ancho de árbol de un gráfico obtenido al agregar n aristas a un árbol en vértices 2n?
Respuestas:
Su modelo no es realmente menos general que preguntar sobre gráficos arbitrarios de 3 regulares, y los gráficos expansores de 3 regulares tienen un ancho de árbol lineal. Entonces no sé acerca de los factores constantes, pero Θ (n) es lo mejor posible, sí.
Como señaló David, básicamente pide límites en el ancho del árbol de un gráfico conectado con un grado medio 3. Para el caso más especial de gráficos de 3 regulares, se pueden obtener los siguientes límites inferior y superior. Denotando por pw (G) el ancho de ruta de un gráfico G, está claro que
(1) tw (G) <= pw (G) para cualquier gráfico G (como una descomposición de ruta es una descomposición de árbol)
Está demostrado en [1] que
(2) Para cada \ epsilon> 0, existe un número entero n_0 tal que para cualquier gráfico 3 G regular en n> = n_0 vértices, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n.
Esto le da un límite superior de aproximadamente n / 6 en el ancho de árbol de los gráficos de 3 regulares.
Para un límite inferior casi seguro, cito de [2]:
"Como los gráficos cúbicos aleatorios casi seguramente tienen un ancho de bisección de al menos 0.101 n (Kostochka, Melnikov, 1992), casi seguramente no tienen separador de tamaño menor que n / 20" y, por lo tanto, casi seguramente no hay descomposición de árboles de ancho menor que n / 20 .
Para un límite inferior "seguro" en el ancho de bisección, [3] mostró una familia infinita de gráficos 3-regulares, de modo que cada gráfico G = (V, E) en esta familia tiene un ancho de bisección de al menos 0.082 * | V |.
[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: ancho de ruta de gráficos cúbicos y algoritmos exactos. Inf. Proceso. Letón. 97 (5): 191-196 (2006)
[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: Grad y clases con expansión limitada II. Aspectos algorítmicos. EUR. J. Comb. 29 (3): 777-791 (2008)
[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: Nuevos límites inferiores espectrales en el ancho de bisección de los gráficos. Theor Comput Sci. 320 (2-3): 155-174 (2004)