¿Cuál es la complejidad computacional de "resolver" el ajedrez?

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La idea básica de la inducción hacia atrás es comenzar con todas las posiciones finales posibles de un juego en el que el jugador X gana. Entonces, para el ajedrez, mira todas las formas en que las blancas pueden hacer jaque mate a las negras. Ahora trabaje hacia atrás a todos los movimientos / posiciones posibles que le permitirían a las blancas moverse a una de esas posiciones. Si las Blancas alguna vez se encontraran en una posición así, podrían ganar si se movían a la jugada correspondiente de verificación. Ahora trabajamos hacia atrás otro paso y así sucesivamente. Eventualmente volvemos a todos los primeros movimientos posibles que las Blancas podrían hacer. El punto es que, una vez que hayamos hecho esto, sabemos que tenemos la mejor respuesta de las blancas a cualquier movimiento que las negras hagan.

Recientemente (últimos cinco años más o menos) Checkers fue "resuelto" de esta manera. Obviamente, Noughts and Crosses (lo que los coloniales podrían llamar "Tic-Tac-Toe") se ha resuelto durante siglos. Por lo menos desde este xkcd pero presumiblemente mucho antes.

Entonces la pregunta es: ¿de qué factores depende este tipo de procedimiento? El número de posibles posiciones legales, presumiblemente. Pero también quizás el número de movimientos legales en cualquier nodo dado ... Y dado esto, ¿qué tan complejo es este tipo de problema?

Pregunta adicional: ¿cuánto tiempo antes de que una PC de $ 2000 pueda resolver damas en un día? ¿Ajedrez? ¿Vamos? (Por supuesto, para esto también debe tener en cuenta la velocidad cada vez mayor de las computadoras domésticas ...)

Agregué la etiqueta de algoritmos gráficos porque puedes representar estos juegos como árboles, pero si estoy abusando de la etiqueta, agrega algo más apropiado

cc.complexity-theory graph-algorithms board-games

— Seamus
fuente

44

Las preguntas sobre la complejidad del ajedrez se han reafirmado en muchos lugares. El árbol del juego tiene una longitud finita, módulo de las reglas precisas que rigen los sorteos, pero el árbol del juego tiene un factor de ramificación muy alto, por lo que las soluciones de fuerza bruta parecen estar fuera del alcance. Para decirlo sin rodeos: el árbol del juego tiene un tamaño similar a

, para

medios movimientos. ¿No veo una pregunta de TCS aquí?

10^{k}

$10^k$

k

$k$

— András Salamon

66

¿Es descarado señalar que la complejidad es

según la regla de los cincuenta movimientos?

O (1)

$O(1)$

— Joe Fitzsimons

Seamus, el alcance de cstheory es preguntas de nivel de investigación en tcs, lea las preguntas frecuentes. Puede usar mates.SE para preguntas que no sean de nivel de investigación.

— Kaveh

Hay algunas preguntas relacionadas con la complejidad en el ajedrez, pero como se ha dicho, esta no es debido al árbol de juego finito. esta pregunta es algo similar, ¿ puede haber un algoritmo de ajedrez perfecto

— vzn

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Como @Joe señala, el ajedrez es trivial de resolver en el tiempo usando una tabla de búsqueda. (Una implementación real de este algoritmo requeriría un universo significativamente más grande que el que vivimos, pero este es un sitio para la informática teórica . El tamaño de la constante es irrelevante). $O(1)$

Obviamente no existe una generalización canónica del ajedrez, pero se han considerado varias variantes; su complejidad depende de cómo se generalizan las reglas sobre movimientos sin capturas y posiciones repetitivas . $n\times n$

Si se declara un empate después de un número polinómico de movimientos libres de captura, o después de que cualquier posición repite un número polinómico de veces, entonces cualquier juego de ajedrez termina después de un número polinómico de movimientos, por lo que el problema está claramente en PSPACE. Storer demostró que esta variante es dura para PSPACE. $n\times n$

Para la variante sin límites en posiciones repetidas o movimientos sin captura, el número de posiciones legales de ajedrez es exponencial en , por lo que el problema está claramente en EXPTIME. Fraenkel y Lichtenstein demostraron que esta variante es EXPTIME-hard. $n\times n$ $n$

— Jeffε
fuente

3

"o después de cualquier posición repite un número polinómico de veces". Creo que solo esta restricción todavía permite juegos súper polinomialmente largos. Por ejemplo, imagine un tablero

con

caballeros (por ejemplo, a través de la promoción) y dos reyes. Para

, el número de posiciones será

n \times n

$n \times n$

2 n

$2n$

m = n^{2}

$m = n^2$

, que es superpolinomial, y no puedo imaginar que alguna degeneración reduzca el número de posiciones alcanzables en un juego a algunas

.

Ω (C (m, 2 \sqrt{m}))

$\Omega(C(m,2\sqrt{m}))$

p (m)

$p(m)$

— Yonatan N

AlphaGo me hizo pensar. No es una canónica

versión de Go, ¿verdad? Entonces, ¿sería una mejor pregunta?

n \times n

$n \times n$

— Seamus

Realmente odio los problemas que existen, O(1)pero en realidad no hay una computadora o algoritmos para resolverlos en un tiempo humano razonable. Sería curioso saber la cantidad de este tipo de problemas para una memoria y un tiempo limitados fijos determinados

— albanx

1

@Seamus Muy tarde, pero: pensarías que hay una versión canónica

de Go, pero de hecho hay algunas sutilezas de reglas (¡y diferencias de reglas, entre diferentes naciones!) Que pueden afectar enormemente los resultados de ciertas posiciones esotéricas. Consulte en.wikipedia.org/wiki/Rules_of_Go#Repetition para obtener algunos detalles si tiene curiosidad.

n \times n

$n\times n$

— Steven Stadnicki

11

Probablemente esta no sea una respuesta terriblemente útil, pero creo que vale la pena señalar que el ajedrez tiene un número máximo de movimientos y, por lo tanto, hay un número finito de juegos posibles. La regla de cincuenta movimientos permite a cualquiera de los jugadores reclamar un empate si se realizan 50 o más movimientos sin mover un peón. Podemos suponer razonablemente que esto siempre se usa, ya que si hay alguna medida objetiva de la fuerza de las posiciones de cada jugador, entonces el más débil reclamará el empate. Además, las reglas del ajedrez requieren que cada vez que se mueva un peón avance una casilla hacia el lado del oponente del tablero (ya sea que se mueva directamente hacia adelante o en diagonal) y, por lo tanto, cada peón puede moverse como máximo 6 veces. Como hay 16 peones en total, esto pone el número máximo de movimientos en . En cada movimiento, el jugador mueve una de las 16 piezas como máximo. Para un peón hay como máximo 3 movimientos, 14 para una torre, 8 para un caballero, 14 para un alfil, 28 para una reina y 8 para un rey, para un total de 132 movimientos posibles. Esto da un límite superior de en el número total de partidas de ajedrez. Entonces, si bien este es un número verdaderamente enorme (aproximadamente ), significa que la complejidad es trivialmente $50\times (16 \times6 + 1) + 1 = 4851$ $132^{4851}$ $2^{34172}$ $O(1)$ . Por otro lado, con un enfoque tan ingenuo tomaría aproximadamente cincuenta mil años para que el problema sea manejable, suponiendo que la ley de Moore continuara indefinidamente.

— Joe Fitzsimons
fuente

Pequeñas objeciones: el número máximo de movimientos es más como 50 * (16 * 6 + 1) + 1. Pero luego 16 * 6 de esos son movimientos de peón, 16 de los cuales se extraen de 4 opciones, aunque uno de esos cortes de opciones bajar el número de movimientos más tarde ... (No estar en desacuerdo con el punto básico, que es el sonido. Curiosamente su estimación sale alrededor de 10 ^ 10 ^ 5, mientras que Mathworld dice que Hardy lo estimó como 10 ^ 10 ^ 50. Maravilla si esa es una mala transcripción de sus notas).

— Peter Taylor

@ Peter Mi error, lo siento. He corregido la respuesta ahora. No estoy seguro de si fue así como se llegó a la estimación en Mathworld. Si simplemente contaba los arreglos legales del tablero (ignorando la regla de los cincuenta movimientos), podría haber sido mucho más grande.

— Joe Fitzsimons

Otra objeción: usaste una versión incorrecta de la regla de cincuenta movimientos. Debería ser "50 movimientos sin un movimiento de peón o una captura". El número de piezas en el tablero está disminuyendo monotónicamente durante un juego y la regla aún permite un límite finito. Aunque el juego sigue siendo finito sin la regla de los cincuenta movimientos según la regla de la repetición triple, que luego produce un límite mucho mayor.

— Olaf

Ah, sí. Eso aumenta el número máximo de movimientos en aproximadamente un tercio.

— Joe Fitzsimons

Te perdiste algo de 50 movimientos: después de 50 movimientos sin movimiento de peón y sin ningún objeto muerto, tenemos un sorteo (el poder de tu cálculo crece dramáticamente pero aún es constante).

— Saeed

8

En realidad, aquí hay un par de preguntas diferentes: (a) ¿cuánta potencia informática se necesita para buscar juegos en el árbol y (b) cuál es la complejidad computacional de estos problemas? El mejor recurso de uso múltiple para este tipo de cosas es probablemente la página de Wikipedia sobre Game Complexity , pero para entrar en un poco más de detalle:

$d$ $b$ $b^{d/2}$ $b^d$ $d$ $b$

En la práctica, la búsqueda de árbol puro se complementa con un diccionario ascendente; por ejemplo, se conocen los resultados de todos los finales de ajedrez de 6 piezas, y se han analizado muchos finales de 7 piezas (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Endgame_tablebase ), por lo que el resultado de una rama del juego puede ser buscó en el 'diccionario' (una gran base de datos de posiciones) una vez que la posición se ha reducido a pocas piezas suficientes, atajando una gran cantidad de búsqueda de árbol adicional que de lo contrario sería necesaria. Esto es lo que se hizo con los verificadores: se crearon bases de datos de todos los finales con suficientes piezas, luego se extendieron para agregar más piezas y más, hasta que se conocieron los resultados de todos los finales de 10 piezas; luego se utilizó la búsqueda de árboles desde la posición inicial, y esencialmente los dos se encontraron en el medio.

Sin embargo, más allá de estos enfoques prácticos, está el lado (b) de la pregunta: ¿cuál es la complejidad computacional de este tipo de problemas? En resumen, la mayoría de los problemas de este tipo tienden a caer en un par de categorías; son PSPACE-complete, lo que significa aproximadamente 'si puedes resolver esto, puedes resolver cualquier problema que requiera mucho espacio polinomial', o EXPTIME-complete (lo que significa aproximadamente 'si puedes resolver esto, puedes resolver cualquier problema eso lleva exponencialmente mucho tiempo '), dependiendo de cuánto tiempo pueda durar el juego; Una vez más, la página de Wikipedia sobre la integridad EXPTIME tiene una muy buena discusión sobre los problemas involucrados y lo que diferencia a los diferentes juegos en este frente.

— Steven Stadnicki
fuente

-2

Estas estimaciones son demasiado altas.

Te enfocas en ramificarte en base a movimientos legales. Esto tiene mucho sentido si está tratando de hacer una computadora de ajedrez rápida, pero no es así como escribiría un programa para "resolver" el ajedrez.

Hay <<<<< 13 ^ 64 estados de juego posibles en el ajedrez. Cada casilla solo puede contener una de las piezas de ajedrez o nada. Puede iterar a través de todos ellos y marcarlos como victorias negras o victorias blancas en no más de 2 ^ 256 más o menos operaciones.

Una suposición más realista del número de estados de juego razonablemente alcanzables es de alrededor de 2 ^ 100

— usuario15969
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3

Debido a la regla de que repetir una configuración de tablero tres veces es un empate, el estado del juego no incluye solo las posiciones actuales de las piezas, sino también todas las configuraciones de tablero pasadas. Pero lo que sea; Una constante es una constante.

— Jeff

1

También necesita derechos de enroque, pero solo necesita las últimas 100 configuraciones de placa.

$\hspace{.2 in}$

Parece que estás transformando gran parte de la complejidad en "y márcalos como ganador negro o ganador blanco".

— Joe Fitzsimons

1

@ Jɛ ﬀ E No todas las configuraciones de tablero pasadas, ya que cualquier posición antes de la última captura o movimiento de peón nunca puede ser alcanzada nuevamente. Pero, aún así, lo que sea; una constante sigue siendo una constante.

— David Richerby

No necesitaría las últimas 100 configuraciones de tablero (digamos 100 bits cada una), pero solo los últimos 100 movimientos, y no necesita considerar movimientos de peón. Nunca debe requerir más de 8 bits. Entonces, diría que un total de menos de 900 bits.

— gnasher729