Descomposición modular y ancho de camarilla

Estoy tratando de entender algunos conceptos sobre la descomposición modular y los gráficos de ancho de camarilla.

En este documento ("En gráficos P4-tidy"), hay una prueba de cómo resolver problemas de optimización como el número de camarilla o el número cromático usando la descomposición modular. Resolver estos problemas componiendo (usando suma disjunta o unión disjunta) dos gráficos G1, G2 es fácil cuando conoce la respuesta para G1 y G2. Dado que los gráficos principales en la descomposición de los gráficos P4-tidy son gráficos acotados (es decir, C5, P5, etc.), es fácil resolverlo para estos "casos base" y luego resolverlo para las composiciones. Por lo tanto, al usar el árbol de descomposición es posible resolver estos problemas en tiempo lineal.

Pero parece que esta técnica funcionaría con cualquier clase de gráfico, de modo que los primos de gráfico estén delimitados. Luego encontré este documento "Problemas de optimización de tiempo lineal solucionable en gráficos de ancho de camarilla acotada" que parece hacer la generalización que estaba buscando pero no podía entenderla muy bien.

Mi pregunta es:

1- ¿Es equivalente a decir que los primeros gráficos del árbol de descomposición están delimitados (como en el caso de los gráficos ordenados P4) y decir que un gráfico tiene la propiedad "Clique-Width" delimitada?

2- En caso de que la respuesta para 1 sea ​​NO, entonces: ¿Existe algún resultado sobre clases de gráficos con primos de gráfico delimitados (como en gráficos P4-ordenados) y, por lo tanto, problemas de optimización como número de camarilla solucionable en tiempo lineal en todas estas clases? ?

Aquí encontrará un texto introductorio sobre el ancho de la camarilla (cwd para abreviar): límites superiores al ancho de la camarilla de los gráficos (B. Courcelle y S. Olariu, DAM 101). Puede encontrar resultados más recientes en esta encuesta: Desarrollos recientes en gráficos de ancho de camarilla acotado (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12): 2747-2761 (2009))

Cwd es una medida de complejidad basada en operaciones gráficas que generalizan la concatenación de palabras. Los gráficos contables infinitos pueden tener cwd acotado. Dirás que un conjunto (posiblemente infinito) de gráficos (finitos o contables) ha acotado cwd si existe una constante k tal que cualquier gráfico en este conjunto tenga cwd como máximo k. Por ejemplo, los gráficos completos tienen cwd 2, los gráficos hereditarios de distancia cwd como máximo 3, ...

1) El enlace entre cwd y modular-dec es el siguiente: cwd (G) = max {cwd (H) | H prima en el diciembre modular de G}. Por lo tanto, puede decir que cwd generaliza el hecho de que "los gráficos principales tienen un tamaño acotado". Puede tener gráficos con gráficos primos de tamaño ilimitado pero con cwd acotado.

2) si el tamaño de los gráficos primarios está limitado, el cwd está limitado. Los resultados en el documento que cita dice que cualquier problema expresable en MSOL se puede resolver de manera eficiente en clases de gráficos de cwd acotado. Este conjunto de problemas incluye muchos problemas de NP completo: número de camarilla, número estable, 3 colorabilidad, ...

Aquí se estudian algunos aspectos algorítmicos del dec modular "Una encuesta de los aspectos algorítmicos de la descomposición modular" (M. Habib y C. Paul, Computer Science Review 4 (1): 41-59 (2010))