Contexto.
Estoy escribiendo sobre temas como el teorema de Gottesman-Knill , utilizando grupos estabilizadores de Pauli, pero en el caso de d -qudits dimensionales, donde d puede tener más de un factor primo. (Destaco esto porque la gran mayoría de la literatura sobre formalismo estabilizador en "dimensiones superiores" involucra los casos de d prime o d a prime power, y hace uso de campos finitos; estoy considerando en cambio los grupos cíclicos ℤ d .)
Para cualquier dimensión, caracterizo un grupo estabilizador (Pauli) como un subgrupo abeliano del grupo Pauli, en el que cada operador tiene un espacio propio +1 .
Estoy escribiendo sobre un resultado que es bien conocido por d = 2 (y se generaliza fácilmente a d prime):
Un grupo estabilizador estabiliza un estado puro único si y solo si es máximo
donde por máxima, quiero decir que cualquier extensión se encuentra fuera del grupo de Pauli, o no es abeliana, o contiene operadores sin valores propios +1.
Las pruebas de tales resultados para d prime generalmente se basan en el hecho de que ℤ d 2n es un espacio vectorial ( es decir, ℤ d es un campo): esto no se cumple para d composite. Hay dos recursos: generalizar las pruebas existentes de una manera que sea robusta a la existencia de divisores cero ( por ejemplo, usando herramientas como la forma normal de Smith ), o evitar la teoría de números por completo y usar ideas como las relaciones de ortogonalidad de los operadores de Pauli.
Problema.
De hecho, ya tengo una prueba concisa de este resultado, esencialmente usando solo las relaciones de ortogonalidad de los operadores de Pauli. Pero sospecho que he visto algo así antes, y me gustaría referirme a la técnica anterior si puedo (sin mencionar ver si hay mejores técnicas que la que utilicé, que aunque no onerosa se sintieron menos que perfectas) )
Ciertamente, los documentos de Knill [quant-ph / 9608048] y [quant-ph / 9608049] consideran temas similares y utilizan técnicas similares; pero no pude encontrar el resultado que estaba buscando allí, o en Gottesman [quant-ph / 9802007] . Espero que alguien pueda señalarme dónde tal prueba podría haber sido publicada antes.
Nota : el resultado que estoy considerando no es uno que relacione la cardinalidad del grupo con la dimensión del espacio estabilizado (que es agradable, pero trivial tanto para probar como para encontrar referencias); Me preocupa específicamente mostrar que cualquier grupo estabilizador que no se puede extender estabiliza un estado único, y viceversa. Una referencia a una prueba de que cualquier grupo estabilizador máximo tiene la misma cardinalidad estaría bien; pero de nuevo, no debe confiar en que d sea primo o ℤ d 2n sea un espacio vectorial.