Consecuencias de

Como aficionado de TCS, estoy leyendo material muy introductorio sobre informática cuántica. Aquí están los pocos datos elementales que he aprendido hasta ahora:

1. No se sabe que las computadoras cuánticas resuelvan problemas NP-completos en tiempo polinómico.
2. "La magia cuántica no será suficiente" (Bennett et al. 1997): si descarta la estructura del problema y solo considera el espacio de posibles soluciones, incluso una computadora cuántica necesita aproximadamente pasos para encontrar el correcto (usando el algoritmo de Grover)$2^n$$\sqrt{2^n}$
3. Si alguna vez se encuentra un algoritmo de tiempo polinomial cuántico para un problema de NP completo, debe explotar la estructura del problema de alguna manera (de lo contrario, se contradeciría el bullett 2).

Tengo algunas preguntas (básicas) que nadie parece haber hecho hasta ahora en este sitio (tal vez porque son básicas). Supongamos que alguien encuentra un algoritmo de tiempo polinómico cuántico de error acotado para (o cualquier otro problema NP-completo), colocando en e implicando .$SAT$$SAT$$BQP$$NP \subseteq BQP$

Preguntas

1. ¿Cuáles serían las consecuencias teóricas de tal descubrimiento? ¿Cómo se vería afectada la imagen general de las clases de complejidad? ¿Qué clases serían iguales a las demás?
2. Un resultado como ese parecería sugerir que las computadoras cuánticas tenían un poder inherentemente superior que las computadoras clásicas. ¿Cuáles serían las consecuencias de un resultado como ese en la física? ¿Emanaría algo de luz sobre algún problema abierto en física? ¿Se cambiaría la física después de un resultado similar? ¿Se vería afectada la ley de la física tal como la conocemos?
3. La posibilidad (o no) de explotar la estructura del problema de una manera suficientemente general (es decir, independiente de la instancia específica) parece ser el núcleo de la pregunta P = NP. Ahora, si se encuentra un algoritmo cuántico de tiempo polinómico de error limitado para , y debe explotar la estructura del problema, ¿su estrategia de explotación de estructura no sería utilizable también en el escenario clásico? ¿Hay alguna evidencia que indique que tal estructura-explotación puede ser posible para las computadoras cuánticas, mientras que sigue siendo imposible para las clásicas?$SAT$

No voy a tratar de responder la primera pregunta, ya que alguien como Scott Aaronson, Peter Shor o John Watrous sin duda puede darle una respuesta mucho más completa en ese frente.

Con respecto a la pregunta 2, es importante tener en cuenta que las computadoras cuánticas son, de hecho, más poderosas que las computadoras clásicas en muchos casos:

1. Hay una aceleración polinómica bastante genérica obtenida por las computadoras cuánticas sobre las computadoras clásicas en una gran cantidad de problemas. Desde el punto de vista de la complejidad, esto es quizás algo menos interesante que una aceleración exponencial, pero es algo que podemos probar.
2. La complejidad de la comunicación cuántica a menudo puede variar dramáticamente de la complejidad de las comunicaciones clásicas para el mismo problema. De nuevo, esto es algo que se puede probar (ver, por ejemplo, el juego Mermin-GHZ).
3. Las consultas cuánticas a los oráculos son a menudo mucho más poderosas que las consultas clásicas al mismo oráculo (ver, por ejemplo, el algoritmo Deutsch-Josza).

Con esto en mente, ya se sabe que las computadoras cuánticas son fundamentalmente más poderosas que las computadoras clásicas. Creo que estaría en lo correcto al decir que la mayoría de los físicos que trabajan en tales cosas ya supondrían que no es posible encontrar un algoritmo clásico para simular eficientemente cada sistema cuántico, y así un resultado que muestra que NP estaba contenido en BQP sin duda sería sorprendente, no sería particularmente probable que proporcionara un avance en la comprensión de cualquier fenómeno físico en particular. Más bien, proporcionaría evidencia algo más fuerte de que la física cuántica es difícil de simular.

No existe una física fundamental que dependa de la complejidad computacional de simularlo, por lo que encontrar un algoritmo cuántico eficiente para un problema de NP completo no tendría consecuencias fundamentales para la corrección de nuestra comprensión actual de cómo funciona el universo (aunque estoy inclinado para estar de acuerdo con la sugerencia de Scott Aaronson de que es interesante ver si podrían surgir leyes físicas de los supuestos computacionales).

Es extremadamente tentador decir que esto tendría consecuencias para la evolución adiabática de los sistemas cuánticos (y supongo que podría obtener una respuesta o dos que sugieran eso), etc., pero esto sería incorrecto, ya que se rigen por un proceso físico específico , y mostrando que en principio es posible resolver SAT en tiempo polinómico en una computadora cuántica, no diría nada sobre su evolución específica.

Con respecto a su última pregunta, ya tenemos ejemplos en los que se explota la estructura del problema para obtener un algoritmo cuántico polinómico, pero que no conducen a un algoritmo tan clásico (factorización, por ejemplo). Por lo tanto, en lo que respecta a nuestra comprensión actual, un problema con una estructura explotable para producir un algoritmo cuántico de tiempo polinómico no implica que la estructura sea explotable para producir un algoritmo de tiempo polinómico clásico.

A Scott Aaronson a menudo le gustaba señalar (y probablemente todavía le gusta señalar, asumiendo que no se ha cansado de hacerlo) que los procesos físicos no siempre encuentran el mínimo global de un paisaje energético . En particular, si fuera a formular una instancia de un problema de optimización completa de NP como un problema de minimización de energía para un sistema físico, no hay razón, ya sea teórica o empírica, para creer que dicho sistema físico se "relajará" después de algún tiempo para una solución del problema ( es decir,  una configuración de energía que es un mínimo global). Es más probable que se relaje a un mínimo local: uno para el cual las configuraciones ligeramente diferentes requieren más energía, pero donde una configuración sustancialmente diferente puede tener menos energía.

Por lo tanto, si bien demostrar que NP  ⊆  BQP sería un triunfo de primer orden, para todos los teóricos de la complejidad, no solo para los teóricos de la computación cuántica, sugeriría que hay una teoría completamente nueva de modelos "físicos" de computación que esperan ser descubiertos. ¿Por qué? Bueno, los modelos de computación pueden interpretarse como modelos de física (aunque altamente especializados): a saber, qué recursos computacionales son físicamente razonables. Una de las consignas '' de la computación cuántica es que Nature isn't classical, [darn] it^† - por lo menos que se puede simular la mecánica cuántica en un ordenador clásico, lo que se puede calcular de manera eficiente físicamente es casi con toda seguridad más potente que P . Y sin embargo, tenemos evidencia de que es menos poderoso que NP; entonces también tendría que ser menos poderoso que BQP , si ocurriera que NP  ⊆  BQP .

Entonces, una prueba de NP  ⊆  BQP nos presentaría un trilema:

1. los circuitos cuánticos se pueden simular de manera eficiente en una computadora clásica, demostrando NP  ⊆  BQP  ⊆  P , superando así los sueños o pesadillas más salvajes de cada teórico;
2. los circuitos cuánticos no se pueden simular en una computadora clásica, pero se pueden construir computadoras cuánticas escalables para resolver problemas en NP , lo que genera un interés verdaderamente explosivo en la computación cuántica y garantiza que los físicos experimentales tengan seguridad profesional para el futuro previsible;
3. Hay otro modelo de cómputo que espera ser descubierto, intermedio entre P y BQP en potencia, que describe (o más bien, se aproxima mejor ) lo que es eficientemente computable físicamente.

Sospecho que el dinero inteligente estaría en el # 3, tan divertido como # 1 o # 2 sería desde una perspectiva académica.

^†  Con disculpas a Feynman, quien sospecho que no solía picar sus maldiciones.