Un conjunto de bateo de una familia es un subconjunto de tal que para . El problema para encontrar un conjunto mínimo de golpes de una familia dada es NP-hard en general, ya que generaliza el problema de la cubierta de vértices. Ahora mi pregunta es:
¿El problema del conjunto de golpes sigue siendo NP-duro cuando los elementos de cruzan por pares?
También estoy interesado en la dureza de aproximación (o trazabilidad) de este problema.
Respuestas:
La respuesta es sí: el problema sigue siendo NP-completo. para cada conjunto crear un elementos falsos e ' i , e " i y crear un nuevo conjunto S ' i = S i ∪ { e ' i } y S " i = S i ∪ { e " i } . Es fácil verificar que cualquier conjunto de bateo del sistema anterior sea un conjunto de bateo del nuevo sistema. Además, a excepción de los elementos falsos, cada elemento ahora alcanza al menos tres conjuntos.
A continuación, para cada par de conjuntos en el nuevo sistema (llamémoslos y T j para evitar confusiones), cree un elemento falso x i j y agréguelo a T i y T j . Claramente, en el sistema de conjunto resultante, todos los conjuntos se cruzan por pares, pero el conjunto de golpe óptimo original sigue siendo el conjunto de golpe óptimo para este nuevo sistema.
Sin más restricciones, el problema parece tan difícil como el problema original.
Por cierto, probar que, de hecho, la solución óptima no usaría ninguno de los elementos falsos no es trivial. Primero, podemos suponer que un conjunto de bateo dado para el nuevo sistema no incluye ningún o e ″ i , ya que de lo contrario podemos mover los elementos a los elementos originales de los conjuntos y obtener un conjunto de bateo de tamaño similar. Es un poco más sutil ver por qué los elementos x i j no están en el conjunto de golpes óptimo. Como es tedioso, solo dejaría una pista: construya un gráfico que conecte dos conjuntos S i y S j en el sistema original si x i jconecta dos conjuntos que se derivan de estos conjuntos. Argumenta que este gráfico en el conjunto de golpes mínimos debe ser regular y, como tal, el número de bordes excede estrictamente el número de conjuntos presentes como vértices. Como tal, uno puede encontrar un conjunto de bateo más pequeño para estos conjuntos.