Subgrafo común más grande de dos gráficos planos máximos

Considere el siguiente problema:

Dado planar maximal Gráficos de y , encontrar el gráfico con el número máximo de bordes de tal manera que hay un subgrafo (no necesariamente inducida) tanto en y que es isomorfo a .$G_1$$G_2$$G$$G_1$$G_2$$G$

¿Se puede hacer esto en tiempo polinómico? ¿Si es así, entonces cómo?

Se sabe que si y son gráficos generales, entonces el problema es NP-completo (porque podría ser una camarilla). También se sabe que si y son árboles, o k-árboles parciales de grado acotado, entonces el problema puede resolverse en tiempo polinómico. Entonces, ¿qué pasa con el caso plano máximo? ¿Alguien sabe esto? El isomorfismo gráfico en dos gráficos planos máximos es polinomial. Quizás esto ayuda de alguna manera?$G_1$$G_2$$G_1$$G_1$$G_2$

Es NP completo, a través de una versión modificada de la reducción que Wigderson usó para demostrar que Hamiltonicity de gráficos planos máximos es NP completo.

Un examen cuidadoso de la prueba de integridad de NP de Wigderson de 1982 para la dureza de los ciclos hamiltonianos en gráficos planos máximos ( http://www.math.ias.edu/avi/node/820 ) muestra que las instancias producidas por su reducción tienen la propiedad de que existe existe una ventaja tal que existe un ciclo hamiltoniano a través de e o no existe ningún ciclo hamiltoniano en absoluto. Por ejemplo, e puede ser elegido para ser uno de los bordes en uno de los gadgets M de Wigderson.$e$$e$$e$$M$

Sea una instancia difícil construida de esta manera, e incruste G de modo que el borde e pertenezca al triángulo exterior de la incrustación. Connect muchas copias de este gráfico incrustado de manera que sus correos -edges forman un ciclo, y hacer que el resultado máximo planar de nuevo mediante la adición de dos vértices más, uno a cada lado de este ciclo, conectados a todos los vértices expuestas de las copias de G . Deje que el número de copias sea c , y llamar a la gráfica resultante H . Deje que n es el número de vértices en G .$G$$G$$e$$e$$G$$c$$H$$n$$G$

Nuestro ejemplo duro para el subgrafo más grande común será el par , donde B es una bipirámide con el mismo número de vértices como H . Por lo tanto, un subgráfico común óptimo tendrá que emparejar todos los vértices. Si hacemos que c sea lo suficientemente grande, el subgrafo necesariamente emparejará los vértices de la bipirámide con los dos vértices agregados en H , porque sus grados ( c y 2 c ) serán suficientemente más altos que cualquier otro vértice en H , de modo que sumar estos grados el tamaño de la solución compensará cualquier interrupción causada por este emparejamiento en otro lugar.$(H,B)$$B$$H$$c$$H$$c$$2c$$H$

Si es hamiltoniano, entonces el subgráfico común formado haciendo coincidir el ciclo hamiltoniano (menos e ) en las copias de G con el ecuador de la bipirámide tendrá c ( n + 2 ) aristas, c ( n - 1 ) para el ecuador y 3 c para los vértices. Si G no es hamiltoniano, entonces (para opciones suficientemente grandes de c que la solución óptima empareje los vértices correctamente) cualquier subgrafo común tendrá menos bordes: aún 3 c en los vértices pero menos de c ( $G$$e$$G$$c(n+2)$$c(n-1)$$3c$$G$$c$$3c$ otro lugar. Por lo tanto, probar si el subgrafo común de H y B tiene al menos c ( n + 2 ) bordes es NP-completo.$c(n-1)$$H$$B$$c(n+2)$