Encontrar un modelo finito

Sé que la pregunta "si una fórmula de primer orden tiene un modelo" es indecidible en general.$\phi$

¿Alguien podría darme un enlace o un libro que dé la respuesta para modelos finitos? Si tengo una fórmula de primer orden , ¿es decidible si ϕ tiene un modelo finito? Estoy bastante seguro de que la pregunta es bien conocida, pero ni siquiera sé por dónde comenzar la búsqueda de una respuesta. (Por ejemplo, hubiera esperado que estuviera en "Elementos de la teoría de modelos finitos" de Libkin, pero parece que no puedo encontrarlo).$\phi$$\phi$

La segunda parte de mi pregunta es: ¿Existen restricciones conocidas que permitan resolver el problema?

Por ejemplo, el problema puede volverse decidible para la fórmula de primer orden con solo predicados monádicos. O cuando tenemos un predicado monádico más una relación sucesora. Pero no puedo imaginar un algoritmo para decidir si existe un modelo (finito) sobre esas restricciones.

La primera parte de su pregunta es respondida por el Teorema de Trakhtenbrot . La segunda parte es una pregunta bastante grande. Dependiendo de la estructura relacional en la que esté trabajando, se pueden dar múltiples soluciones. Por ejemplo, si está interesado en los lenguajes formales, MSO sobre las estructuras de palabras corresponde a los lenguajes regulares, y la lógica de correspondencia ( ver esto ) corresponde a CFL, y por lo tanto su problema de satisfacción es decidible.

Debería echar un vistazo al Capítulo 14 de Libkin, donde se ha comprobado que buenos segmentos de FO tienen un problema de satisfacción decidible, de acuerdo con la cantidad de alternancias cuantificadoras permitidas.

No sé la respuesta para fragmentos arbitrarios de FO. La lógica modal clásica y sus extensiones tienen varias propiedades de capacidad de decisión. Por las traducciones estándar, obtienes fragmentos de lógica clásica que comparten estas propiedades.

1. La lógica modal y el fragmento invariante de bisimulación de FOL de dos variables.
2. CTL * y el fragmento invariante de bisimulación de la lógica del camino monádico.
3. El cálculo mu y el fragmento invariante de bisimulación de la lógica monádica de segundo orden.

Todas las lógicas modales anteriores son decidibles y tienen la propiedad de modelo finito. Otras lógicas con propiedades de capacidad de decisión robustas son el fragmento protegido de FO, el fragmento débilmente protegido y las lógicas de punto fijo protegido. Estas lógicas fueron diseñadas para transferir la esencia de las propiedades bien comportadas de las lógicas modales a una configuración lógica clásica. La lógica de punto fijo guardado es decidible pero no tiene la propiedad de modelo finito.

Lo que sigue no debe tomarse como una verdad magistral de libro de texto, sino simplemente sugerencias para su propia investigación adicional. Los editores pueden hacer las correcciones que consideren oportunas.

Primero, su pregunta aparentemente es de interés para la comunidad de Deducción Automatizada. William McCune tiene un programa llamado Mace4 que busca modelos finitos. Es posible que desee leer la documentación que describe cómo se hace.

En cuanto a las restricciones decidibles específicas, es posible que desee ver lo siguiente:

1. Casos donde el Universo Herbrand es finito. Una forma mecánica de verificar un subconjunto de estos casos es verificar si la fórmula tiene algún símbolo de función. Si no es así, el Universo Herbrand es finito.

2. Casos donde es posible la eliminación del cuantificador : theory.stanford.edu/~tingz/talks/qe.ps

Además de las respuestas que ya se dieron: una muy buena referencia sobre la (des) capacidad de decisión de los fragmentos de la lógica de primer orden es el libro El clásico problema de decisión de Börger, Grädel y Gurevich