La existencia de preservador de distancia plana?

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Sea G un gráfico no dirigido de n-nodos, y sea T un subconjunto de nodos de V (G) llamados terminales . Un preservador de distancia de (G, T) es un gráfico H que satisface la propiedad

{re}_{H} (tu, v) = {re}_{sol} (tu, v)

$d_H(u,v) = d_G(u,v)$

para todos los nodos u, v en T. (Tenga en cuenta que H NO es necesariamente un subgrafo de G.)

Por ejemplo, sea G el siguiente gráfico (a) y T los nodos en la cara externa. Entonces el gráfico (b) es un preservador de distancia de (G, T).

ingrese la descripción de la imagen aquí

Se sabe que existe un preservador de distancia con varios parámetros. Estoy particularmente interesado en el que tiene las siguientes propiedades:

G es plano y no ponderado (es decir, todos los bordes de G tienen un peso uno),
$O(n^{0.5})$
$o(n)$ $O(\frac{n}{\log\log n})$

¿Existe tal preservador de distancia?

Si uno no puede cumplir con las propiedades anteriores, cualquier tipo de relajación es bienvenida.

Referencias

Preservadores de distancia dispersos de fuente y pareja , Don Coppersmith y Michael Elkin, SIDMA, 2006.
Preservadores de poca distancia y llaves aditivas , Béla Bollobás, Don Coppersmith y Michael Elkin, SIDMA, 2005.
Llaves y emuladores con errores de distancia sublineales , Mikkel Thorup y Uri Zwick, SODA, 2006.
Límites más bajos para llaves aditivas, emuladores y más , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

El preservador de distancia también se conoce como emulador ; se puede encontrar mucho trabajo relacionado en Internet buscando el término llave inglesa , que requiere que H sea un subgrafo de G. Pero en mis aplicaciones también podemos usar otros gráficos, siempre que H conserve las distancias entre T en G.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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−1 por usar JPEG para este tipo de figura! (solo bromeando, pero PNG generalmente es mucho mejor en calidad de imagen y tamaño de archivo para figuras simples)

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: ¡Gracias por los consejos útiles! No lo sabía :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

4

Muchos años después, parece que OP finalmente ha respondido a su propia pregunta: Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes y Oren Weimann acaban de publicar en el arxiv su emulador de distancia casi óptima para gráficos planos.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$ $|T| =: t$ $\widetilde{O}(n^{3/4})$ $\widetilde{O}(n)$ tiempo; Sospecharía firmemente que los factores de registro en el tamaño pueden eliminarse si solo nos preocupamos por la existencia y no por el tiempo de cálculo del preservador, pero no lo he verificado rigurosamente.

(En una nota menos formal, encuentro este resultado realmente sorprendente. ¡Felicidades!)

— GMB
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Gracias @GMB por publicarlo como respuesta. Un pequeño inconveniente aquí es que el conservador está dirigido ; Es una pregunta abierta si existe un emulador no dirigido (pero no necesariamente plano) de tamaño sublineal. Pero es bastante satisfactorio saber finalmente la respuesta a una vieja pregunta después de todos estos años :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

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es posible que desee ver la llave de subconjunto planar de Klein, que conserva las distancias hasta un factor de épsilon de 1 +.

Una llave de subconjunto para gráficos planos, con aplicación al subconjunto TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620

— Christian Sommer
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Gracias, he leído el periódico, y hay una brecha entre su construcción y nuestros requisitos. Parece que cualquier llave no funcionará mientras sea un subgrafo del gráfico original; uno puede tomar un gráfico de cuadrícula como contraejemplo. Pero hay emuladores para los gráficos de cuadrícula.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Otra idea de construcción, ¿tal vez funciona? 1) recursivamente aplique separadores de ruta más corta (Thorup, FOCS'01) 2) cubierta de eps para cada vértice [los primeros dos pasos construyen etiquetas de distancia] hay terminales sqrt {n}, cada una con una etiqueta de tamaño O (log n / eps), conectándose a un número total de rutas de registro de sqrt {n} * como máximo y 1 / eps veces más portales 3) atajo a los portales en las rutas por bordes ponderados y atajo a las conexiones a los portales por bordes que el gráfico resultante debería tener aproximadamente sqrt {n} * registra n vértices y aristas (hasta eps) y representa 1 + eps rutas más cortas para distancias exactas No lo sé ...

— Christian Sommer