¿Para qué k es PLANAR NAE k-SAT en P?

El problema No todos iguales -SAT (NAE k -SAT), dado un conjunto C de cláusulas sobre un conjunto X de variables booleanas de modo que cada cláusula contenga como máximo k literales, pregunta si existe una asignación de verdad de las variables de manera que cada cláusula contiene al menos un verdadero y al menos un falso literal.$k$$k$$C$$X$$k$

El problema PLANAR NAE -SAT es la restricción de NAE k -SAT a aquellos casos en los que la gráfica bipartita de incidencia de C y X (es decir, la gráfica de las partes C y X con un borde entre x ∈ X y c ∈ C si y solo si x o ¯ x pertenece a c ), es plano.$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

Se sabe que NAE 3-SAT es NP-complete (Garey y Johnson, Computers and Intractability; A Guide to Theory of NP-Completeness), pero PLANAR NAE 3-SAT está en P (ver Planar NAE3SAT está en P, B Moret, ACM SIGACT News, Volumen 19, Número 2, Verano de 1988 , desafortunadamente no tengo acceso a este documento).

¿Es PLANAR NAE -SAT en P para algunos k ≥ 4 ? ¿Hay un valor de k para el cual se ha demostrado que está NP completo?$k$$k\geq 4$$k$

PLANAR NAE -SAT está en P para todos los valores de k .$k$$k$

La razón es que podemos reducir PLANAR NAE -SAT a PLANAR NAE 3 -SAT. Vamos φ ser una instancia de PLANAR NAE k -SAT, y supongamos φ contiene una cláusula C con literales ℓ 1 , ℓ 2 , ... , ℓ k . Introduzca una nueva variable v C y reemplace C con dos cláusulas NAE C 1 y C 2 . C 1 contiene 3 literales ℓ 1 , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$, y , mientras que C 2 contiene k - 1 literales ˉ v C , ℓ 3 , ℓ 4 , ... , ℓ k . Es fácil ver que C es satisfactoria si C 1 ∧ C 2 lo es y que la transformación conserva la planaridad. Ahora, podemos aplicar varias veces este procedimiento en las cláusulas para obtener finalmente una instancia φ ' del NAE 3 -SAT lo deseas.$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$