¿Teoremas de punto fijo para espacios métricos constructivos?

El teorema del punto fijo de Banach dice que si tenemos un espacio métrico completo no vacío , entonces cualquier función uniformemente contractiva tiene un punto fijo único . Sin embargo, la prueba de este teorema requiere el axioma de elección: debemos elegir un elemento arbitrario para comenzar a iterar desde, para obtener la secuencia de Cauchy . f : A → A μ ( f ) a ∈ A f a , f ( a ) , f 2 ( a ) , f 3 ( a ) , $A$$f : A \to A$$\mu(f)$$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. ¿Cómo se establecen los teoremas de punto fijo en el análisis constructivo?
2. Además, ¿hay referencias concisas a espacios métricos constructivos?

La razón por la que pregunto es que quiero construir un modelo del Sistema F en el que los tipos también tengan una estructura métrica (entre otras cosas). Es bastante útil que, en la teoría de conjuntos constructivos, podamos preparar una familia de conjuntos , de modo que esté cerrada bajo productos, exponenciales y familias indexadas en , lo que facilita dar un modelo del Sistema F.U $U$$U$$U$

Sería muy bueno si pudiera cocinar una familia similar de espacios ultramétricos constructivos. Pero dado que agregar opciones a la teoría de conjuntos constructiva lo hace clásico, obviamente necesito tener más cuidado con los teoremas de punto fijo, y probablemente también con otras cosas.

El axioma de elección se usa cuando hay una colección de "cosas" y usted elige un elemento para cada "cosa". Si solo hay una cosa en la colección, ese no es el axioma de elección. En nuestro caso, solo tenemos un espacio métrico y estamos "eligiendo" un punto en él. Entonces ese no es el axioma de elección sino la eliminación de cuantificadores existenciales, es decir, tenemos una hipótesis y decimos "deja que sea ​​tal que ". Desafortunadamente, la gente a menudo dice " elija tal que ", que luego parece la aplicación del axioma de elección.x ∈ A ϕ ( x ) x ∈ A ϕ ( x $\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$$\phi(x)$

Como referencia, aquí hay una prueba constructiva del teorema del punto fijo de Banach.

Teorema: una contracción en un espacio métrico completo habitado tiene un punto fijo único.

Prueba. Supongamos que es un espacio métrico completo habitado yf : M → M es una contracción. Debido a que f es una contracción existe α tal que 0 < α < 1 y d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , y ) para todo x , y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$.

Supongamos que y v son un punto fijo de f . Entonces tenemos d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ) de donde se deduce que 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) $u$$v$$f$

$$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$$ , por lo tanto delta ( u , v ) = 0 y u = v . Esto prueba que f tiene como máximo un punto fijo.$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$$d(u,v) = 0$$u = v$$f$

Queda por demostrar la existencia de un punto fijo. Debido a que está habitado existe x 0 ∈ M . Defina la secuencia ( x i ) recursivamente por x i + 1 = f ( x i ) . Podemos demostrar por inducción que d ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) . De esto se deduce que$M$$x_0 \in M$$(x_i)$

$$x_{i+1} = f(x_i).$$ $d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$ es una secuencia de Cauchy. Debido a que M está completa, la secuencia tiene un límite y = lim i x i . Como f es una contracción, es uniformemente continua y, por lo tanto, conmuta con los límites de las secuencias: f ( y ) = f ( lim i x i ) = lim i f ( x i ) = lim i x i + 1 = lim i x $(x_i)$$M$$y = \lim_i x_i$$f$ Por lo tanto, y es un punto fijo de f . QED $$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$$ $y$$f$

Observaciones:

1. Tuve cuidado de no decir "elegir " y "elegir x 0 ". Es común decir tales cosas, y solo se suman a la confusión que impide que los matemáticos comunes puedan decir qué es y qué no es el axioma de elección.$\alpha$$x_0$

2. $u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. $(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. $\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. Finalmente, los siguientes teoremas de punto fijo tienen versiones constructivas:

   • Teorema de punto fijo de Knaster-Tarski para mapas monótonos en redes completas
   • Teorema de punto fijo de Banach para contracciones en un espacio métrico completo
   • Teorema de punto fijo de Knaster-Tarski para mapas monótonos en dcpos (probado por Pataraia)
   • Varios teoremas de punto fijo en la teoría de dominios generalmente tienen pruebas constructivas
   • El teorema de recursión es una forma de teorema de punto fijo y tiene una prueba constructiva
   • Probé que el teorema de punto fijo de Knaster-Tarski para mapas monótonos en posets de cadena completa no tiene una prueba constructiva. Del mismo modo, el teorema de punto fijo Bourbaki-Witt para mapas progresivos en posets de cadena completa falla constructivamente. El contraejemplo para el último proviene de los topos efectivos: en los topos efectivos, los ordinales (adecuadamente definidos) forman un conjunto y los mapas sucesores son progresivos y no tienen puntos fijos. Por cierto, el mapa sucesor en los ordinales no es monótono en los topos efectivos.

Ahora que es más información de la que pediste.