Trace Equivalence vs LTL Equivalence


17

Estoy buscando un ejemplo sencillo de dos sistemas de transición que sean equivalentes a LTL, pero que no sean equivalentes de rastreo.

He leído la prueba de que Trace Equivalence es más fina que LTL Equivalence en el libro "Principles of Model Checking" (Baier / Katoen) pero no estoy seguro de entenderlo realmente. No puedo imaginarlo, ¿hay algún ejemplo simple que pueda visualizar la diferencia?


3
¿Puedo recomendar ampliar el acrónimo en el título? Esto ayudará a otros a encontrar la pregunta y las respuestas y también podría ayudar a que su pregunta sea dirigida a aquellos que pueden proporcionar buenas respuestas.
Marc Hamann

1
sin mencionar las búsquedas de google :)
Suresh Venkat

55
@Marc: el uso del acrónimo LTL es absolutamente estándar: a los lógicos modales les gustan sus nombres breves (piense en B, D4.3, KL, etc.). Creo que el título no debería expandirse, dado que tenemos la etiqueta.
Charles Stewart el

1
La pregunta aún no está muy bien definida: ¿está permitiendo infinitas estructuras de Kripke? ¿Considera trazas finitas e infinitas mixtas (máximas), o solo permite las infinitas? Pregunto porque AFAICR Baier & Katoen solo consideran el caso de las estructuras finitas de Kripke y las huellas infinitas, que descartan la respuesta de Dave a continuación.
Sylvain

1
@atticae: con estructuras de Kripke totales finitas (y, por lo tanto, trazas infinitas), esperaría que la equivalencia LTL y la equivalencia de trazas sean lo mismo ... Lo pensaré.
Sylvain

Respuestas:


9

Al leer a Baier y Katoen detenidamente, están considerando sistemas de transición finitos e infinitos. Vea la página 20 de ese libro para las definiciones.

Primero, tome el sistema de transición simple :EVEN

INCLUSO

Lema: Ninguna fórmula LTL reconoce el lenguaje Traces . Una cadena iff para even . Ver Wolper '81 . Puede probar esto mostrando primero que ninguna fórmula LTL con operadores "la próxima vez" puede distinguir las cadenas de la forma para , por una simple inducción.( E V E N ) c L e v e n c i = a iLeven=(EVEN)cLevenci=aip i ¬ p p ω i > nnpi¬ppωi>n

Considere el siguiente sistema de transición (infinito, no determinista) . Tenga en cuenta que hay dos estados iniciales diferentes:NOTEVEN

ingrese la descripción de la imagen aquí

Sus trazas son precisamente .{a,¬a}ωLeven

Corolario del lema: Si entoncesE V E N ¬ ϕNOTEVENϕEVEN¬ϕ

Ahora, considere este sistema de transición simple :TOTAL

TS total

Sus huellas son claramente .{a,¬a}ω

Por lo tanto, y no son trazas equivalentes. Supongamos que fueran LTL no equivalentes. Entonces tendríamos una fórmula LTL tal que y . Pero entonces, . Esto es una contradicción.T O T A L ϕ N O T E V E N ϕ T O T A L ϕ E V E N ¬ ϕNOTEVENTOTALϕNOTEVENϕTOTALϕEVEN¬ϕ

Gracias a Sylvain por atrapar un error estúpido en la primera versión de esta respuesta.


Hmm, esto no está perfectamente claro. ¿Debo hacer que los pasos en torno a la contradicción sean más explícitos? Los sistemas de transición tampoco son tan bonitos como podrían ser ...
Mark Reitblatt

Está interpretando mal el lenguaje : el sistema que propone es equivalente a la fórmula . El sistema correcto debería tener una opción no determinista en la inicial, estado marcada con entre ir a un estado etiquetado por y otra no etiquetado por . Tanto como tienen transiciones que vuelven a . a G ( ( a X ¬ a ) ( ¬ a X a ) ) a q 0 q 1 a q 2 a q 1 q 2 q 0LevenaG((aX¬a)(¬aXa))aq0q1aq2aq1q2q0
Sylvain

@Sylvain tienes razón. Traté de simplificar, ¡y terminé rompiéndolo! Déjame arreglar eso.
Mark Reitblatt

¿No puede "revertir" el argumento, para que los dos sistemas que compare al final sean y lugar de y ? T O T A L N O T E V E NEVENTOTALNOTEVENTOTAL
Sylvain

1
@ Mark Reitblatt: ¿De qué razonas esa frase al final "Pero entonces, "? No puedo ver una argumentación que conduzca a ese punto, que es esencial para mostrar la contradicción. EVEN¬ϕ
magnético

3

Si su definición LTL incluye el "siguiente" operador, se aplica lo siguiente. Tiene dos conjuntos de huellas y . Deje que sea cualquier prefijo finito de una huella en . también debe ser un prefijo finito de una traza en , porque de lo contrario puede convertir esto en una fórmula que es solo una serie de operadores siguientes que detectan la diferencia. Por lo tanto, cada prefijo finito de una palabra debe ser un prefijo finito de una palabra y viceversa. Esto significa que si , debe haber una palabra en para que todos sus prefijos finitos aparezcan en peroB b B b AABbBbAA A B b A bBAABbAben sí mismo no aparece en . Si y son generados por sistemas de transición finita , creo que esto es imposible. Suponiendo sistemas de transición infinita, puede definirA BAAB

y B = A { w } donde w es, por ejemplo, la palabra infinita a b a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 .A={a,b}ωB=A{w}waba2b2a3b3a4b4

Cualquier fórmula LTL que mantiene universalmente para se mantenga universalmente para B porque B es un subconjunto de A . Cualquier fórmula LTL que sea válida para B también es válida para A ; en aras de la contradicción, suponga que no, pero que φABBABAφ vale para cada elemento de (es decir, para cada elemento del universo, espere la palabra w ) pero no para w . Entonces ¬ φ se evalúa como verdadero en w pero no en cualquier otra palabra del universo (y LTL está cerrado bajo negación), y no existe una fórmula LTL que pueda ser verdadera solo para wBww¬φwwcomo todo autómata Buchi que acepta solo una palabra infinita debe ser estrictamente cíclico mientras que no lo es.w


Esas son huellas finitas. Suponiendo que los extienda a trazas infinitas con al final, la fórmula ¬ ( b X ( b X G a ) ) acepta el segundo conjunto pero rechaza el primero. aω¬(bX(bXGa))
Mark Reitblatt

Tienes razón, escribí una nueva respuesta :) LOL, recordé de mis días en cs teóricos que LTL no tiene el siguiente operador :)
antti.huima

Creo que esto hace el truco.
Dave Clarke

Creo que también funciona.
Mark Reitblatt

Esta respuesta no es satisfactoria. El OP estaba pidiendo sistemas de transición, pero la respuesta es sobre idiomas y se justifica en términos de autómatas Buchi y ω idiomas -Regular, que no están en el texto se hace referencia.
Mark Reitblatt
Al usar nuestro sitio, usted reconoce que ha leído y comprende nuestra Política de Cookies y Política de Privacidad.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.