Función de thevasz theta y gráficos regulares (ciclos impares en particular) - conexiones a la teoría espectral

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¿A qué distancia está el Lovasz de la capacidad de error cero de los gráficos regulares? ¿Hay algún ejemplo en el que se sepa que el límite de Lovasz no es igual a la capacidad de error cero de un gráfico regular? (Esto fue respondido a continuación por Oleksandr Bondarenko).

En particular, ¿se conoce alguna desigualdad estricta para ciclos impares de lados mayores o iguales a $7$ ?

Actualización ¿Qué mejora se necesita en la teoría espectral para mejorar la función Lovasz theta para que la brecha entre la capacidad de Shannon y Lovasz Theta para los casos en los que existe una brecha pueda reducirse? (Tenga en cuenta que estoy preocupado solo desde la perspectiva espectral)

$G$$\Theta(G)$$\acute{a}$$\vartheta(G)$$[1]$$\ddot{a}$ $G$$\Theta(G)\leqslant7<\vartheta(G)=9$

En se observa que "Los límites superiores más conocidos en y para extraño y mayor que están dados por la función theta de Lovasz ...". De esto concluyo que la respuesta a su última pregunta es no (desde entonces no sé ningún resultado que mejore en esto).$[2]$$\Theta(C_m)$$\Theta(\overline{C}_m)$$m$$5$

Encontrar la capacidad de Shannon incluso para sería un gran avance para este difícil problema. Además, se puede notar que$C_7$

"no se sabe si el problema de decidir si la capacidad de Shannon de un gráfico de entrada dado excede un valor dado es decidible".

1. W. Haemers, " Sobre algunos problemas de Lov sz con respecto a la capacidad de Shannon de un gráfico$\acute{a}$ ", IEEE Trans. sobre la teoría de la información, vol. 25, no. 2, págs. 231–232, marzo de 1979.
2. T. Bohman, " Un teorema límite para las capacidades de Shannon de ciclos impares. II ," Actas de la Sociedad Americana de Matemáticas, 2005.
3. N. Alon, " Razonamiento combinatorio en teoría de la información ".