Relación entre parámetro fijo y algoritmo de aproximación


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Los parámetros fijos y la aproximación son enfoques totalmente diferentes para resolver problemas difíciles. Tienen motivaciones diferentes. La aproximación busca un resultado más rápido con una solución aproximada. El parámetro fijo busca una solución exacta con complejidad de tiempo en términos de la función exponencial o alguna de k y la función polinómica de n donde n es el tamaño de entrada yk es el parámetro. Ejemplo .2kn3

Ahora mi pregunta, ¿hay algún resultado de límite superior o inferior basado en la relación entre el parámetro fijo y los enfoques de aproximación o no tienen ninguna relación? Por ejemplo, para un problema se dice que es W [ i ] difícil para algunos i > 0 no tiene nada que ver con tener un algoritmo de aproximación c o PTAS. por favor proporcione algunas referenciasPW[i]i>0


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Relacionado, ¿posiblemente duplicado?: Cstheory.stackexchange.com/questions/4906/…
Suresh Venkat

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@suresh venkat Esa pregunta es acerca de la diferencia en entender NP-complete y parámetro fijo. cuando hablamos solo en términos de dureza NP, el conjunto independiente y la cubierta del vértice son literalmente iguales, pero cuando hablamos en términos de parámetros fijos tienen una gran diferencia. la cubierta del vértice tiene un buen fpt mientras que el conjunto independiente es W [1] duro
Prabu

pero aquí estoy buscando una relación entre aproximación y parámetro fijo.
Prabu

Creo que no existe una relación real entre ellos, pero mediante el uso de parámetros fijos podemos tener una buena aproximación, por ejemplo, en el empaquetado bin (programación de makepan) puede ver esta relación, o por ejemplo en los gráficos de Treewidth limitados, tenemos aproximaciones sobre algunos problemas .
Saeed

Respuestas:


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Existen varias conexiones entre la complejidad parametrizada y los algoritmos de aproximación.

Primero, considere la llamada parametrización estándar de un problema. Aquí, el parámetro es lo que optimizaría en la versión de optimización del problema (el tamaño de la cubierta de vértice para el problema de Cubierta de vértice, el ancho de la descomposición del árbol para el problema de Ancho de árbol, etc.). Veamos concretamente la cubierta Vertex. Cualquier kernel con un número lineal de vértices para Vertex Cover implica un algoritmo de aproximación de tiempo polinomial de factor constante: en la solución aproximada, coloque todos los vértices que han sido forzados a la solución por el algoritmo de kernelization y todos los vértices de la instancia kernelized . Por otro lado, los límites inferiores en el factor de aproximación implican límites inferiores en el tamaño de un núcleo. Por ejemplo, bajo la Conjetura de juegos únicos, Khot y Regev (JCSS 2008)descartar algoritmos de aproximación para Vertex Cover con una relación de cualquier , que descarta un núcleo para Vertex Cover con a lo sumo c k vértices, c < 2 , también.c<2ckc<2

EDITAR: La argumentación para el límite inferior del núcleo en el párrafo anterior es muy informal, y que yo sepa, está abierto si se pueden probar tales límites inferiores en el tamaño del núcleo, incluso para Vertex Cover. Como @Falk señala en los comentarios, el argumento es válido para la mayoría (¿todos?) De los núcleos conocidos. Sin embargo, no veo cómo se podría excluir la existencia de algoritmos de kernelization donde una solución factible de la instancia kernelized tiene una relación de aproximación diferente a la solución correspondiente en la instancia inicial.

Luego, está el problema de PTAS versus FPTAS. Si queremos encontrar una solución dentro de desde óptimo, podemos parametrizar por 1 / ϵ . Entonces, un PTAS corresponde a un algoritmo XP en la configuración parametrizada, mientras que un FPTAS corresponde a un algoritmo FPT. Para un límite inferior de aproximación, es posible que no esperemos un EPTAS para cualquier problema cuya parametrización estándar sea W [1] -hard: ejecutar el EPTAS con ϵ = 1 / ((1+ϵ)1/ϵ resolvería el problema exactamente en el tiempo FPT.ϵ=1/(k+1)

Finalmente, un algoritmo de aproximación FPT es un algoritmo con tiempo de ejecución FPT y una relación de aproximación que puede depender del parámetro. Por ejemplo, la parametrización estándar del problema Cliquewidth tiene un algoritmo de aproximación FPT con relación de aproximación (Oum, WG 2005) , mientras que la parametrización estándar del Conjunto de Dominio Independiente no tiene un algoritmo de aproximación FPT con relación de rendimiento g ( k )(23k+21)/k g(k) para cualquier función computable , a menos que FPT = W [2] (Downey et al., IWPEC 2006) . Ver (Marx, The Computer Journal 2008)g para una encuesta sobre aproximación FPT.


@Gasper ¿Puedes ver la pregunta "Encontrar un sub-torneo acíclico máximo dados dos sub-torneos acíclicos". Todavía tengo dudas con mi respuesta. Como ha trabajado con un problema relacionado, puede ayudarme
Prabu

¿Es correcto el primer párrafo de la respuesta de Serge? ¿El límite inferior en la aproximabilidad produce un límite inferior en el tamaño del grano? La afirmación similar está en el libro de Niedermeier, pero ¿es correcta esta afirmación?
XXYYXX

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@XXYYXX: En la respuesta de Serge, escribió "Cualquier núcleo con un número lineal de vértices para Vertex Cover implica un algoritmo de aproximación de tiempo polinomial de factor constante" con una breve prueba. Más precisamente, su argumento muestra que si existe un núcleo con vértices ck para alguna constante c, entonces existe un algoritmo de aproximación factor-c. La contrapositiva es: si no existe un algoritmo de aproximación factor-c, entonces no existe un núcleo con vértices ck.
Yoshio Okamoto

@Prabu: Comenté tu respuesta a la otra pregunta. @Yoshio: Gracias por responder la pregunta de @ XXYYXX.
Serge Gaspers

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De hecho, probablemente para todas las kernelizaciones conocidas, el argumento es válido. Sin embargo, no veo ninguna razón por la cual no debería haber uno que, por ejemplo, primero se reduzca a otro problema, se kernelice allí, y luego se reduzca de nuevo a Vertex Cover, de modo que la instancia resultante no tenga correspondencia de vértice con la inicial. Entonces, me parece que lo único que realmente podemos mostrar es que los núcleos que son subgráficos probablemente no serán más pequeños que 2k.
Falk Hüffner

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FPTASPFPT

Q=(IQ,SQ,fQ,optQ)NPQFPTASQPFPT .

PFPT se define como:

NPQPFPTO(|x|O(1)kO(1))|x|x .

Se proponen otras caracterizaciones para dos clases de aproximación en [2, Teorema 6.5].

Un problema es

  • PTASptasXPw

  • FPTASfptasPFPTw

(f)ptas(XP)PFPTw1ϵ

  1. Esquemas de aproximación de tiempo polinómico y complejidad parametrizada . J. Chen y col. / Matemática discreta aplicada 155 (2007) 180-193.
  2. Estructura de la aproximación del tiempo polinomial . EJ van Leeuwen y col. Informe técnico UU-CS-2009-034, diciembre de 2009.
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