Suma de productos con coeficientes acotados

El siguiente lema no es difícil de probar.

Lema : Sea y k ∈ [ n ] . Si m 1 , m 2 , ... , m r son enteros (algunos de ellos pueden ser negativos) de modo que m 1 c 1 + m 2 c 2 + ⋯ + m r c r = k , entonces ∃ enteros$c_1 \neq c_2 \neq \dots \neq c_r \in [n]$$k \in [n]$$m_1, m_2, \dots, m_r$$m_1c_1 + m_2c_2 + \dots + m_rc_r = k$$\exists$ satisfactorio m ′ 1 c 1 + m ′ 2 c 2 + ⋯ + m ′ r c r = k tal que | m ′ 1 | + | m ′ 2 | + ⋯ + | m ′ r | ≤ p o $m'_1, m'_2, \dots,m'_r$$m'_1c_1 + m'_2c_2 + \dots + m'_rc_r = k$ . Aquí p o l y ( n ) significa n c para alguna constante positiva c .$|m'_1|+|m'_2|+\dots+|m'_r| \leq poly(n)$$poly(n)$$n^c$$c$

Supongo que el lema anterior es bien conocido. Estoy buscando una referencia del lema anterior y el mejor límite posible para .$poly(n)$

Se puede obtener un límite mediante el lema de Bézout :$O(n^2 \log r)$

$0 < c_i \leq n$$\gcd(c_1,\ldots,c_r) = \sum_i m_i c_i$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

Este lema se obtiene aplicando recursivamente el lema de Bézout en dos variables y la identidad .$\gcd(x_1,x_2,x_3) = \gcd(\gcd(x_1,x_2),x_3)$

Sin pérdida de generalidad, suponga que dividiendo en ambos lados de . Según el lema de Bézout, existen enteros con tal que$\gcd(c_1,\ldots,c_r) = 1$$\gcd(c_1,\ldots,c_r)$$\sum_i m_i c_i = k$$m_i$$|m_i| \leq n \log r$

$$k \cdot \sum_i m_i c_i = \sum_i (k \cdot m_i) c_i = k \cdot 1 \text,$$

observando tenemos el con .$k = O(n)$$m'_i = k \cdot m_i$$|m'_i| = O(n^2 \log r)$

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Si está buscando literatura, la palabra clave es ecuaciones lineales de diofantina no homogéneas , es decir, la ecuación cuando . Para el homogéneo, se puede obtener un límite lineal en, ver por ejemplo este o este artículo . En cuanto al no homogéneo, todavía no he encontrado ese resultado; Sin embargo, este artículo parece relevante.$\sum_i m_i c_i = k$$k = 0$$|m_i'|$