Justificación del log f en el teorema de la jerarquía DTIME

Si observamos el teorema de la jerarquía DTIME, tenemos un registro debido a la sobrecarga en la simulación de una máquina de Turing determinista por una máquina universal:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

No tenemos este tipo de gastos generales para NTIME de DSPACE. Una justificación básica proviene de los detalles de la prueba al considerar la diferencia entre simuladores.

Mi pregunta es la siguiente: sin considerar los detalles de la prueba del teorema de la jerarquía DTIME, ¿hay una justificación de este registro o podría ser solo una consecuencia de la prueba y sería razonable imaginar que si $f = o(g)$ luego

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

En mi opinión, considerar que la explicación de la simulación es una buena justificación debería justificarse demostrando que si tuviéramos un mejor resultado, podríamos crear una mejor simulación.

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

— Patedo Ludovic
fuente

Creo que lo que escribiste en el último párrafo es menos probable que lo contrario. Es decir, no creo que actualmente podamos descartar la posibilidad de que una declaración más fuerte pueda probarse mediante un método que no sea la simulación. Por otro lado, podríamos descartar la posibilidad de que una declaración más fuerte se pueda probar mediante simulación construyendo un mundo relativizado donde la declaración más fuerte falla.

— Tsuyoshi Ito

Según tengo entendido, reducir la sobrecarga de la simulación

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$ en el teorema de la jerarquía de tiempo determinista sería un resultado revolucionario. Por un lado, varios resultados podrían fortalecerse de inmediato.

— András Salamon

Esto es algo pedante, pero a menos que tenga más restricciones adicionales sobre fyg (la estándar sería que fyg es construible en el tiempo), existen fyg de modo que f = o (g) y DTIME (f) = TIEMPO (g). Para ver esto, solo considere el conjunto incontable de todas las funciones x ^ i, con i real, 0 <i <= 1. Si el Teorema de la Jerarquía del Tiempo fuera verdadero para todos los pares de tales funciones, obtendríamos un conjunto incontable de idiomas, todos decidibles por las máquinas de Turing. Esto contradice el hecho de que el conjunto de máquinas de Turing es contable.

— Abel Molina

@abel Supongo, por supuesto, que f y g son construibles en el tiempo, como en el teorema de la jerarquía de tiempo actual.

— Ludovic Patey

sí, hay una justificación para ver la prueba actual, pero una respuesta completa a este problema / pregunta probaría que es necesaria y no simplemente suficiente. es decir, como comenta anteriormente, un límite más estrecho es un problema abierto. en hopcroft / ullman 1976 señalan que el factor log (n) se debe a la reducción de una TM multitapa en una TM de 2 cintas y también tienen la prueba relevante para esa reducción. (junto con esta pregunta, sin embargo, siempre me he preguntado cómo se verían diferentes las jerarquías para una teoría de la complejidad basada en TM de cinta única en lugar de una que permita TM multitape. Parece relacionada con esta pregunta)

— vzn

Respuestas:

El teorema de la jerarquía de tiempo es el tema de mi proyecto de diploma, tal vez desee ver los comentarios sobre mi pregunta Límites inferiores y separación de clases .

Mirando hacia atrás a esta pregunta y cómo se relaciona con lo que está preguntando, se me ocurrió una idea que podría mostrar que la sobrecarga de simulación TM de cinta múltiple a cinta simple que necesita la prueba del teorema no se puede mejorar. Por lo tanto, se necesita otro enfoque si deseamos mejorar este resultado.

EDITAR: Esta prueba es incorrecta, vea los comentarios a continuación para conocer el motivo exacto. Actualmente estoy editando la respuesta para reflejar eso.

Sea el idioma . $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

En una sola máquina de cinta, hay un algoritmo (puede encontrar detalles de este algoritmo en el capítulo 7.1.2 del libro de Sipser "Introducción a la teoría de la computación"). En la misma referencia, puede ver que un idioma está en o (n \ log n) si y solo si es regular. Kaveh también proporciona los documentos originales para este reclamo en la pregunta vinculada anteriormente. $O(n \log n)$

En los comentarios de mi pregunta, Ryan Williams ilustra un algoritmo para el mismo problema, utilizando una TM de 2 cintas. $O(n)$

Supongamos ahora que existe una técnica para simular una TM multitapa en una única TM de cinta que tiene un tiempo de ejecución de , donde es el tiempo de ejecución de la TM simulada . Al aplicarlo a la máquina que ilustra Ryan, obtendríamos una única cinta TM que se ejecutaría en . Por lo tanto, es regular, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, concluimos que una sobrecarga de es lo mejor que podemos hacer al simular máquinas de cintas múltiples con máquinas de cintas individuales. $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$

Me doy cuenta de que esta es una declaración fuerte, por lo que podría estar equivocado en mi interpretación.

Incluso si existe una técnica que permita mejorar este resultado, creo que no es posible igualar el resultado para o . Mi intuición deriva del siguiente hecho: $NTIME$ $SPACE$

Hay un resultado muy conocido que indica . Bajo el supuesto de que , creo que este resultado se mejora a , para cualquier . Entonces, una clase no determinista muy pequeña es mucho más poderosa que cualquier determinista . Entonces, dado lo poderoso que es un recurso de tiempo no determinista, esperaría que se necesitara una mayor cantidad de tiempo determinista para hacer que un TM sea más poderoso para compensar el poder del no determinismo. $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$

— chazisop
fuente

Se necesita tiempo cuadrático para simular una máquina de Turing multicinta en una máquina de una sola cinta. El lenguaje de los palíndromos muestra que esto es necesario: los palíndromos se pueden reconocer en tiempo en máquinas de dos cintas, pero lleva tiempo en máquinas de una sola cinta

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Luca Trevisan

Luca tiene razón, por supuesto (esperaba un error debido a la solidez de la declaración). Mi culpa: confundí precipitadamente la TM de una sola cinta estándar con la única cinta de trabajo (con diferentes cintas de entrada sin escritura y quizás una cinta de salida separada). Cuando me di cuenta del error, traté de ver si la regularidad a ese modelo, pero muestra que no es cierto. Estoy editando la respuesta para reflejar este hecho, espero que el autor de la pregunta @Monoid la haya aceptado para la parte de intuición.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— chazisop

El ejemplo que menciona Luca es para un caso donde el tiempo es . Este caso particular es problemático en general debido al comportamiento no robusto de las máquinas de una sola cinta en clases tan pequeñas. Por lo tanto, no es un obstáculo si el tiempo es . Curiosamente, la prueba de la versión sólida del teorema de la jerarquía para no usa simulación sino un argumento directo (ver Hartmanis 1968).

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Kaveh

Para las TM n-tape, Furer demostró en 1982 un resultado de jerarquía temporal similar al teorema de la jerarquía espacial. El factor no es necesario. $\lg$

El factor para el teorema de la jerarquía de tiempo indicado en su publicación es solo para TMs de una sola cinta. A menos que esté muy comprometido con el modelo de una sola cinta por alguna razón, no hay una diferencia entre el espacio y el tiempo con respecto a los teoremas de jerarquía. $\lg$

Hay algunas razones y argumentos para usar TM de una sola cinta para definir clases de complejidad de tiempo, pero el uso de TM de una sola cinta para definir clases de complejidad no es universal, por ejemplo, ver Lance Fortnow y Rahul Santhanam [2007] donde usan cinta múltiple TMs.

La referencia original para el teorema de la jerarquía temporal es Hennie y Stearns [1966]. Demuestran el teorema de las máquinas de dos cintas. La teoría clásica de la recurrencia de Odifreddi los cita a ellos ya Hartmanis [1968] y describe una prueba que se parece a la del libro de Sipser.

Sin embargo, la prueba de TMs de una sola cinta en el documento de Hartmanis no utiliza simplemente la simulación. Distingue entre dos casos: 1. tiempo de ejecución siendo y 2. tiempo de ejecución siendo . $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

Para el primer caso, usa una simulación, y parece que uno puede deshacerse del factor si las simulaciones se pueden hacer de manera más eficiente. $\lg$
Para el segundo caso, el documento proporciona directamente un lenguaje para la separación y no utiliza simulación en absoluto. Esto utiliza propiedades particulares de TMs de una sola cinta con tiempo de ejecución subcuadrático.

Hay que tener en cuenta que las TM de una sola cinta con el tiempo no son tan robustas y hay límites inferiores cuadráticos (por ejemplo, para Palindroms) en las TM de una sola cinta, mientras que una TM de dos cintas puede resolver estos problemas en el tiempo lineal. $o(n^2)$

Como dije anteriormente, a menos que esté comprometido con el modelo de una sola cinta TM por alguna razón, incluso cuando el tiempo es subcuadrático, no hay un vacío que llenar, el teorema de la jerarquía del tiempo es lo más ajustado posible.

PD: si estamos utilizando TM de cintas múltiples, es decir, una máquina de Turing en la clase puede tener un número fijo pero arbitrario de cintas El resultado de Fürer no se aplica.

Martin Fürer, " La estricta jerarquía determinista del tiempo ", 1982
Piergiorgio Odifreddi, "Teoría de la recursión clásica", vol. II, 1999 (página 84)
Juris Hartmanis, " Complejidad computacional de las computaciones de máquinas de una sola cinta ", 1968
FC Hennie y RE Stearns, " Simulación de dos cintas de máquinas de múltiples etapas ", 1966
El artículo de Lance Fortnow y Rahul Santhanam " Jerarquías del tiempo: una encuesta ", 2007

— Kaveh
fuente

El resultado de Fürer no se aplica solo al caso cuando el número de cintas de las máquinas Turing bajo consideración es fijo, es decir, habla de las clases , siendo el número de cintas.

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— Markus Bläser

@ Markus, sí, eso es correcto, es similar a la caja de una sola cinta. La única diferencia es que el número de cintas es más de uno, pero aún es fijo, por ejemplo, 2 cintas.

— Kaveh

Véase también Krzysztof Loryś, " Resultados de la nueva jerarquía de tiempo para TM deterministas ", 1992. Otra referencia es Kazuo Iwama, Chuzo Iwamoto, " Jerarquías mejoradas de tiempo y espacio de TM fuera de línea de una cinta ", 1998, que mejora el factor de registro para log log para TM de una sola cinta.

— Kaveh

Para un número fijo de cintas mayor que uno, ) para construible en el tiempo . La sobrecarga logarítmica proviene del teorema de reducción de la cinta, donde cualquier cantidad de cintas se puede convertir en dos cintas (o incluso una sola cinta y una pila y con solo movimiento inconsciente). $\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

Si el número de cintas no es fijo, realmente no tenemos una técnica para demostrar constructivamente sin pasar por el teorema de reducción de cinta. Es posible que por cada , las máquinas de cintas no puedan ser simuladas por máquinas de cintas sin una sobrecarga logarítmica. $\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

Sin embargo, eso no significa que el teorema de la jerarquía de tiempo no pueda mejorarse o que falle. $\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

De hecho, ya tenemos lo siguiente.

Teorema: para cada y cada de la forma ( y racional; o ), . $ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

Prueba: si cada idioma con un algoritmo de decisión puede decidirse en el tiempo , entonces rellenando la entrada, cada idioma con un algoritmo de decisión se puede decidir en tiempo (donde está fijo ), y así por cada constante , , contradiciendo el teorema de la jerarquía del tiempo. $O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

Sin embargo, esta prueba no constructiva tiene tres limitaciones:
* La prueba requiere que tenga un buen comportamiento (no solo constructivo en el tiempo, sino también en cierto sentido continuo). * No conocemos un idioma en particular que esté en pero no en . Para una suficientemente grande , simulación de máquinas de Turing -tape no está en , pero no han descartado que incluso para y , lo menos que es> BB (BB (1000)) donde BB es la función de castor ocupado. * No sabemos que la inclusión sea robusta. $f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $ε=1$ $f(n)=n^2$ $k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ fallará para alguna entrada, pero no hemos demostrado que falle para alguna entrada para todos pero finitamente muchos tamaños de entrada (aunque sería muy sorprendente si no fuera así)

— Dmytro Taranovsky
fuente

Respuesta impresionante !! :)

— Michael Wehar