LP relajación de conjunto independiente

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He intentado la siguiente relajación LP de conjunto independiente máximo

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

Obtengo $1/2$ por cada variable por cada gráfico cúbico no bipartito que probé.

¿Es cierto para todos los gráficos no bipartitos cúbicos conectados?
¿Hay relajación LP que funcione mejor para tales gráficos?

Actualización 03/05 :

Aquí está el resultado de la relajación LP basada en camarillas sugerida por Nathan

He resumido los experimentos aquí. Curiosamente, parece haber bastantes gráficos no bipartitos para los cuales la relajación LP más simple es integral.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Yaroslav Bulatov
fuente

La solución ciertamente no es única. En un gráfico bipartito cúbico, puede tener una solución óptima con en una parte y en la otra parte.

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela

1

Lo siento, me perdí parte importante, solo considero gráficos cúbicos no bipartitos. Cada gráfico cúbico bipartito que probé tenía una solución integral

— Yaroslav Bulatov

También debe agregar "conectado" si desea evitar soluciones no únicas.

— Jukka Suomela

2

(1) Olvidó escribir las restricciones de no negatividad. (2) Para gráficos bipartitos, el valor óptimo de esta relajación LP siempre es igual al tamaño máximo de un conjunto independiente. Este es un corolario inmediato del teorema de König .

— Tsuyoshi Ito

2

@Yaroslav: Una pregunta secundaria: ¿cómo se dibujan estos gráficos?

— Tim

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Los gráficos cúbicos conectados no bipartitos tienen la solución óptima única ; en un gráfico cúbico bipartito tiene una solución integral óptima. $x_i = 1/2$

Prueba: en un gráfico cúbico, si suma todas las restricciones , tiene y, por lo tanto, el óptimo es como máximo . $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

La solución para todos es trivialmente viable, y por lo tanto también óptima. $x_i = 1/2$ $i$

En un gráfico cúbico bipartito, cada parte tiene la mitad de los nodos, y la solución en una parte también es óptima. $x_i = 1$

Cualquier solución óptima debe ser estricta, es decir, debemos tener y, por lo tanto, para cada borde . Por lo tanto, si usted tiene un ciclo impar, debe elegir para cada nodo en el ciclo. Y luego, si el gráfico está conectado, esta opción se propaga a todas partes. $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
fuente

2

Como escribí en un comentario sobre la pregunta, solo necesita la bipartita para demostrar la existencia de una solución óptima integral (pero esto requiere una prueba diferente de la suya).

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Sí, es bueno tener en cuenta el teorema de König. Por ejemplo, junto con la observación anterior, mostrará que cualquier gráfico cúbico bipartito tiene una factorización 1 (es decir, puede dividirse en tres combinaciones perfectas). Por supuesto, esta es la forma "incorrecta" de probar este resultado, pero creo que demuestra muy bien el poder del teorema de König: si solo recuerda el teorema de König, hay muchos resultados clásicos en la teoría de gráficos que luego puede reinventar fácilmente .

— Jukka Suomela

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Este LP es semi-integral para todos los gráficos, es decir, existe una solución óptima para que cada variable esté en {0,1 / 2,1}. Simplemente se desprende de un teorema de Nemhauser y Trotter. Por supuesto, la misma conclusión de semi-integralidad se sigue para el LP del problema del complemento (cubierta de vértice). Cuando el gráfico es bipartito, la solución es integral. Se sigue simplemente del teorema de corte mínimo y flujo máximo o de trabajar con soluciones de punto extremo de este LP. Además, los bordes 1/2 forman un ciclo impar.

Por supuesto, este LP no es bueno para resolver el problema de IS. Agregar restricciones Clique o SDP es un enfoque mucho mejor.

Empaques de vértices: propiedades estructurales y algoritmos GL Nemhauser y Trotter-Math. Programa, 1975

— Mohit Singh
fuente

Correcto, vea también el Teorema 5.6 de este documento para un algoritmo muy simple que encuentra de manera eficiente una solución semi integral.

— Jukka Suomela

LP con restricciones Clique resolvió aproximadamente un 50% más de gráficos del conjunto anterior ... ¿dónde puedo encontrar la formulación SDP?

— Yaroslav Bulatov

7

La tesis doctoral de Sergiy Butenko de 2003 revisa algunas otras relajaciones LP de MIS, así como algunas relajaciones cuadráticas.

— Suresh Venkat
fuente

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$K_4$

Esto se llama el número de conjunto fraccional independiente. Encontrará información allí: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring o en el libro "Fractional graph theory" de Daniel Ullman y Edward Scheinerman ( http://www.ams.jhu.edu/~ers / fgt / ).

$K_k$

Nathann

(*) Dicho esto, teóricamente tienes una diferencia arbitrariamente grande entre el resultado óptimo en el LP donde están representadas todas las camarillas y el conjunto independiente óptimo

— Nathann Cohen
fuente

1

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

interesante, esto parece estar relacionado con la facilidad de IndependentSet en gráficos cordales

— Yaroslav Bulatov

Hice algunos experimentos, y la solución de esta relajación LP siempre fue integral en los gráficos cordales

— Yaroslav Bulatov

1

@YaroslavBulatov Hay una razón para su observación. Las desigualdades de camarilla y los límites de no negatividad proporcionan el casco convexo de conjuntos independientes si y solo si el gráfico es perfecto. Los gráficos cordales son perfectos.

— Austin Buchanan