Pruebas obtenidas solo a través de la teoría de grafos espectrales

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Tengo un interés creciente en la teoría de gráficos espectrales, lo cual me parece fascinante, y he comenzado a recopilar algunos documentos que aún no he leído más a fondo de lo que hasta ahora tengo.

Sin embargo, tengo curiosidad acerca de una declaración que apareció en varias fuentes (por ejemplo, allí ), que dice en esencia que algunos resultados en la teoría de grafos se han probado utilizando solo técnicas basadas en el espectro, y que hasta ahora, no hay pruebas de que evita esas técnicas es conocido.

A menos que me salte eso, no recuerdo haber visto un ejemplo así en la literatura que he leído hasta ahora. ¿Alguno de ustedes sabe de ejemplos de tales resultados?

— Anthony Labarre
fuente

El título de la pregunta sugiere que está solicitando pruebas que solo se pueden obtener utilizando la teoría de grafos espectrales, pero está solicitando pruebas que hasta ahora solo se han obtenido mediante la teoría de grafos espectrales. Estas son dos preguntas totalmente diferentes. Así como está, el título es engañoso, por eso lo cambié.

— Dave Clarke

@Dave Hice una reversión

— Suresh Venkat

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El Capítulo 7 de Spectra of Graphs de Cvetković, Doob y Sachs ofrece muchos ejemplos de teoremas cuyas afirmaciones no mencionan explícitamente los espectros, pero que pueden demostrarse utilizando técnicas espectrales. Supongo que muchos de estos no tienen pruebas no espectrales conocidas, aunque tendrías que verificar esto caso por caso. Ciertamente, en muchos casos, la prueba más simple o más natural utiliza espectros.

— Timothy Chow

@Timothy Chow: Gracias, intentaré tenerlo en mis manos.

— Anthony Labarre

@TimothyChow: Creo que deberías responder a esto.

— Suresh Venkat

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El teorema de Hoffman-Singleton .

— Colin McQuillan
fuente

Hoffman-Singleton también fue mi primer pensamiento. Pero, no sé si existen pruebas no espectrales y si no lo hacen si es porque son demasiado difíciles o porque nadie lo ha intentado. La prueba estándar es bastante clara y concisa, por lo que no sé de antemano cuál sería la motivación para obtener una prueba no espectral.

— mhum

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¿Qué tal este resultado en la computación cuántica?

Mario Szegedy Aceleración cuántica de los algoritmos basados en la cadena de Markov. En FOCS'04.

Extiende las cadenas de Markov a las cadenas cuánticas de Markov, y muestra que el tiempo de golpe cuántico está limitado por la raíz cuadrada del tiempo de golpe clásico. Lo hace relacionando los vectores singulares de la cadena clásica de Markov con los vectores singulares de la cadena cuántica de Markov. Antes de este artículo, no se conocía ninguna relación entre los paseos aleatorios y cuánticos. No puedo imaginar cómo hacer lo mismo usando técnicas no espectrales.

— Marcos Villagra
fuente

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Creo que el teorema de la amistad (véase también el artículo de Huneke ) es un buen ejemplo, aunque estrictamente hablando ahora existen pruebas del teorema de la amistad que evitan los valores propios. Las pruebas que evitan por completo los valores propios son mucho más desordenadas que la prueba espectral.

(El teorema de la amistad establece que si en una habitación de personas, cada par de personas tiene exactamente un amigo común, entonces hay alguien que conoce a todos los demás).

— Timothy Chow
fuente

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$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

X^{T} L_{H} X (1 - ϵ) \leq X^{T} L_{sol} X \leq X^{T} L_{H} X (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Aunque la afirmación del teorema es discutiblemente no "inherentemente espectral", no creo que se sepa cómo se puede obtener este resultado o un resultado similar sin utilizar técnicas espectrales.

— Lev Reyzin
fuente

Es un poco discutible si la declaración no es inherentemente espectral. En un sentido literal, tienes razón, pero la única razón por la que puedo pensar por qué aparece la forma cuadrática es espectral.

— Suresh Venkat

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F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Claro, pero uno puede imaginar obtener estos sparsifiers de otra manera. Pero sí, este podría no ser el mejor ejemplo ...

— Lev Reyzin