Estimación de la dimensión VC

¿Qué se sabe sobre el siguiente problema?

Dada una colección de funciones , encuentre una subcolección más grande sujeta a la restricción que VC-Dimension para algún entero . $C$ $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $S \subseteq C$ $(S) \leq k$ $k$

¿Existen algoritmos de aproximación o resultados de dureza para este problema?

— Aaron Roth
fuente

Las funciones parecen no desempeñar ningún papel en la maximización de | S |

— Suresh Venkat

La elección de funciones determina la dimensión VC de S. El problema es encontrar una clase de funciones tan grande como sea posible, sujeto a una restricción de dimensión VC.

— Aaron Roth

Veo. Así traducido a "tierra de geometría", se le da una colección de rangos (f actúa como una función característica) y desea una mayor subcolección de dimensión de VC acotada.

— Suresh Venkat

El otro problema al responder la pregunta: ¿cómo se presenta C? Sabemos que el tamaño máximo posible de

por el Lema de Sauer, y escribir incluso una función en

requiere

bits.

S

$S$

O (2^{n k})

$O(2^{nk})$

C

$C$

n

$n$

— Suresh Venkat

Correcto. Me interesan los resultados en cualquier régimen de representación. Podrías imaginar que

se presenta como

matriz, en cuyo caso tiempo de ejecución

sería `` eficiente '' (aunque no el tiempo

, que es lo que se necesitaría para verificar exhaustivamente si todas las colecciones de

puntos se hicieron añicos). Si es posible obtener resultados algorítmicos con solo el acceso de consulta de recuadro negro a las funciones en

, eso sería aún mejor.

C

$C$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n} \times | C |

$2^n\times |C|$

2^{n \times k}

$2^{n\times k}$

k

$k$

C

$C$

— Aaron Roth

Respuestas:

Editar : el problema original es difícil de aproximar cuando donde denota el número de conjuntos. $n^{1-\epsilon}$ $k=1$ $n$

La dualidad de una hipergrafía se obtiene intercambiando vértices con bordes y preservando las incidencias. Es más fácil entender el problema cuando notamos que una hipergrafía tiene VC-dimensión 1 si su dual está libre de cruces (para todos los en , al menos uno de está vacío). $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$

Por dualidad, el problema original (para ) es equivalente a, dada una hipergrafía , encontrar un tamaño máximo con cruz. $k=1$ $(V, \mathcal{S})$ $U \subseteq V$ $(U, \{S \cap U \mid S \in \mathcal{S}\})$

De hecho, este problema (dual) es muy difícil incluso cuando todos los conjuntos en tienen tamaño 2: entonces es un gráfico y estamos buscando un tamaño de vértice de tamaño máximo cuya subgrafía inducida que no contenga ninguna ruta de dos bordes ( No es difícil ver que esta es la única forma en que puede surgir un par cruzado, suponiendo que el gráfico tenga al menos 4 vértices). Pero esta propiedad es hereditaria y no trivial y, por lo tanto, podemos usar un resultado de Feige y Kogan para mostrar dureza. $\mathcal{S}$

Respuesta original

El problema dual para (encontrar un tamaño máximo tal que la dimensión VC dual de sea como máximo 1) es difícil de aproximar dentro de (en una familia con $k=1$ $S$ $S$ $n^{1-\epsilon}$ $\Theta(n)$ ).

$A$ $P, Q$ $A$ $P \cap Q, P \backslash Q, Q \backslash P, (P \cup Q)^c$ está vacío. (Es decir, VC-dim = 1 es el doble de lo que a menudo se llama libertad de cruce).

$G=(V, E)$ $H=(X, S)$ $X = V \uplus E \uplus \{0\}$ $0$ $v$ $G$ $T_v$ $S$

{v} \cup {e ∣ e is an edge incident to v} .

$\{v\} \cup \{e \mid e \textrm{ is an edge incident to }v\}.$

$\{T_v\}_{v \in U}$ $U$ $G$ .

Pero para el problema original (primario), parece que se requiere más reflexión ... ¡parece interesante!

— daveagp
fuente

Algún trabajo relacionado relevante: estimar la dimensión VC en sí misma (y mucho menos encontrar una subcolección grande con dimensión VC acotada) en su representación es LOGNP-complete (LOGNP está NP restringido a log n bits de no determinismo). También hay un poco de trabajo relacionado en la estimación y aproximación de la dimensión VC cuando la presentación del espacio de rango es más compacta (ver también las referencias dentro)

— Suresh Venkat
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