Complejidad de percolación

En el contexto de la percolación de enlaces en donde es un número entero positivo, considere el problema de calcular una aproximación -de la percolación crítica dada una dimensión de red y un parámetro de precisión como entradas. ¿Hay algún resultado conocido sobre la complejidad de tal problema? d 2 - k p c d∈ N k∈$\mathbb{Z}^d$$d$$2^{-k}$$p_c$$d\in\mathbb{N}$$k\in\mathbb{N}$

El problema definitivamente está en el tiempo aleatorio doble exponencial, y probablemente en el espacio exponencial. El primer resultado estaba en mi publicación original a continuación, y el segundo en mi actualización.

POST ORIGINAL: ¿No puede obtener una buena aproximación por simulación, si está dispuesto a pasar un tiempo exponencial en y ? La longitud de entrada es logarítmica en y . Claramente, el problema está en el tiempo aleatorio doble exponencial. Dado que nadie sabe cómo calcular estos valores de manera eficiente en la práctica, parece claro que esto no se sabe en un tiempo exponencial aleatorio. Me sorprendería mucho si se conocieran otros resultados de complejidad sobre este problema.d k $k$$d$$k$$d$

ACTUALIZACIÓN AGREGADA: En realidad, creo que el problema es muy probable en EXPSPACE. Arreglemos la dimensión (para facilitar las cosas, y porque no entiendo bien las sutilezas de la percolación en diferentes dimensiones), la entrada es solo . Además, supongamos que se da en unario para que pueda eliminar los exponenciales y hablar sobre PSPACE. Propongo el siguiente algoritmo.$k$$k$

Primero, debemos suponer que existe una clase de funciones pseudoaleatorias que le indican si el enlace en las coordenadas está presente, donde es la semilla de la función pseudoaleatoria, y para la cual los enlaces dados por comportan como enlaces aleatorios con respecto a la percolación.x α $F_\alpha({\mathbf{x}})$$\mathbf{x}$$\alpha$$F$

Ahora, supongamos que tenemos un valor fijo de la función pseudoaleatoria seed . Considere el siguiente juego de dos jugadores, el que dos jugadores A y B juegan, después de haber sido dada una probabilidad de bonos y una semilla para .p α $\alpha$$p$$\alpha$$F$

El jugador 1 da dos sitios y dentro de la distancia del origen, pero que todavía están distanciados, donde se elige de modo que si la probabilidad de percolación está dentro de de la probabilidad crítica de percolación , entonces con alta probabilidad habrá un grupo de diámetro cerca del origen ( se llama un exponente crítico, y creo que su valor se conoce con pruebas matemáticas). El jugador 1 afirma que hay una ruta de longitud conecta estos sitios con enlaces enb 2 k ν θ ( 2 k ν ) ν p 2 - k p c 2 k ν ν d F α d log ${\bf a}$${\bf b}$$2^{k\nu}$$\theta(2^{k \nu})$$\nu$$p$$2^{-k}$$p_c$$2^{k\nu}$$\nu$$d$$F_\alpha$, y también da el sitio que es el punto medio de esta ruta de longitud . El jugador 2 luego afirma que la primera parte o la segunda parte de esta ruta no está conectada. El jugador 1 responde dando el punto que afirma que es el punto medio de esta sección supuestamente desconectada del camino. Los dos jugadores continúan de esta manera durante pasos, hasta que alcanzan un segmento de ruta que consiste en un solo enlace, cuya presencia o ausencia se verifica fácilmente.$d$$\log d$

Este es un juego de dos jugadores cuyo resultado indica si la probabilidad de crítica está dentro de de , y por el resultado de que el tiempo polinómico alterno está en PSPACE, el resultado de este juego puede calcularse en PSPACE. Una máquina PSPACE podría calcular este resultado para todas las semillas para encontrar qué jugador gana con alta probabilidad: esto le dirá si es más grande o más pequeño o aproximadamente igual a . Luego puede hacer una búsqueda binaria en para encontrar . p c α p p c - 2 - k p p $2^{-k}$$p_c$$\alpha$$p$$p_c-2^{-k}$$p$$p_c$

DESAFÍO: Encuentre un algoritmo PSPACE (o EXPSPACE si no se da en unario) sin utilizar el supuesto de que hay buenas funciones pseudoaleatorias para la filtración.$k$