El origen de la noción de ancho de árbol.

Mi pregunta hoy es (como siempre) un poco tonta; pero le pediría que lo considere amablemente.

Quería saber sobre la génesis y / o motivación detrás del concepto de ancho de árbol. Estoy seguro de que entiendo que se usa en algoritmos FPT, pero no creo que esa sea la razón por la que se definió esta noción.

He escrito las notas de los escribas sobre este tema en la clase del profesor Robin Thomas . Creo que entiendo algunas de las aplicaciones de este concepto (ya que transfiere las propiedades de separación del árbol al gráfico descompuesto), pero por alguna razón no estoy realmente convencido de que la razón por la que se desarrolló este concepto fuera para medir la cercanía de un gráfico a un árbol

Trataré de ser más claro (no estoy seguro de poder hacerlo, por favor avíseme si la pregunta no está clara). Me gustaría saber si existían nociones similares en otra parte de alguna otra rama de las matemáticas de donde supuestamente se "tomó prestada" esta noción. Mi conjetura será la topología, pero debido a mi falta de antecedentes, no puedo decir nada.

La razón principal por la que tengo curiosidad acerca de esto sería: la primera vez que leí su definición, no estaba seguro de por qué y cómo alguien lo concebiría y con qué fin. Si la pregunta aún no está clara, finalmente intentaré declararlo de esta manera: supongamos que no existía la noción de ancho de árbol. Qué preguntas naturales (o extensiones de algunos teoremas / conceptos matemáticos) a configuraciones discretas llevarán a uno a concebir una definición (permítanme usar la palabra involucrada) como ancho de árbol.

Si realmente quieres saber qué nos llevó a Neil Robertson y a mí al ancho del árbol, no fueron algoritmos en absoluto. Estábamos tratando de resolver la conjetura de Wagner de que en cualquier conjunto infinito de gráficos, uno de ellos es menor que otro, y teníamos razón al principio. Sabíamos que era cierto si nos restringíamos a gráficos sin ruta de vértice k; déjame explicarte por qué. Sabíamos que todos estos gráficos tenían una estructura simple (más exactamente, cada gráfico sin ruta de vértice k tiene esta estructura, y cada gráfico con esta estructura no tiene ruta de vértice 2 ^ k); y sabíamos que en cada conjunto infinito de gráficos, todos con esta estructura, uno de ellos era un menor de otro. Entonces, la conjetura de Wagner era cierta para los gráficos con un límite en su longitud máxima de ruta.

También sabíamos que era cierto para los gráficos sin k-star como menor, nuevamente porque teníamos un teorema de estructura para tales gráficos. Intentamos buscar menores más generales que tuvieran los correspondientes teoremas de estructura que pudiéramos usar para probar la conjetura de Wagner, y que nos llevaron al ancho del camino; excluya CUALQUIER árbol como menor y obtendrá un ancho de ruta limitado, y si tiene un ancho de ruta limitado, entonces hay árboles que no puede tener como menor. (Ese fue un teorema difícil para nosotros; tuvimos una prueba tremendamente dura en el primer trabajo de Graph Minors, no lo lean, puede hacerse mucho más fácil). Pero podríamos probar la conjetura de Wagner para gráficos con ancho de ruta acotado, y eso significaba que era cierto para los gráficos que no contienen ningún árbol fijo como menor; Una gran generalización del camino y los casos estelares que mencioné anteriormente.

De todos modos, con eso hecho, intentamos llegar más lejos. No pudimos hacer gráficos generales, por lo que pensamos en gráficos planos. Encontramos un teorema de estructura para los gráficos planos que no contenía ningún gráfico plano fijo como menor (esto fue fácil); estaba delimitado a lo ancho del árbol. Probamos que para cualquier gráfico plano fijo, todos los gráficos planos que no lo contenían como un menor habían delimitado el ancho del árbol. Como puedes imaginar, eso fue realmente emocionante; por coincidencia, el teorema de estructura para excluir gráficos planos (dentro de gráficos planos más grandes) fue un giro natural en el teorema de estructura para excluir árboles (dentro de gráficos generales). Sentimos que estábamos haciendo algo bien. Y eso nos permite probar la conjetura de Wagner para todos los gráficos planos, porque teníamos este teorema de estructura.

Dado que el ancho de árbol funcionaba para excluir gráficos planos dentro de gráficos planos más grandes, era una pregunta natural si funcionaba para excluir gráficos planos dentro de gráficos no planos: ¿era cierto que para cada gráfico plano fijo, todos los gráficos no lo contenían como un menor había delimitado el ancho del árbol? Esto no lo pudimos probar durante mucho tiempo, pero así es como llegamos a pensar en el ancho de árbol de los gráficos generales. Y una vez que tuvimos el concepto de ancho de árbol, quedó bastante claro que era bueno para los algoritmos. (Y sí, no teníamos idea de que Halin ya había pensado en el ancho de los árboles).

A continuación, le mostramos cómo puede encontrar el concepto de ancho de árbol usted mismo.

Suponga que desea contar el número de conjuntos independientes en el siguiente gráfico.

Los conjuntos independientes se pueden dividir en unos donde el nodo superior está ocupado y en otros donde está desocupado

Ahora, observe que sabiendo si el nodo superior está ocupado, puede contar el número de conjuntos independientes en cada subproblema por separado y multiplicarlos. La repetición recursiva de este proceso le proporciona un algoritmo para contar conjuntos independientes basados ​​en separadores de gráficos.

Ahora, supongamos que ya no tienes un árbol. Esto significa que los separadores son más grandes, pero puede usar la misma idea. Considere contar conjuntos independientes en el siguiente gráfico.

Usa la misma idea de dividir el problema en subproblemas en el separador, obtienes lo siguiente

Como en el ejemplo anterior, cada término en la suma se descompone en dos tareas de conteo más pequeñas en el separador.

Tenga en cuenta que tenemos más términos en la suma que en el ejemplo anterior porque tenemos que enumerar todas las configuraciones en nuestro separador, que potencialmente puede crecer exponencialmente con el tamaño del separador (tamaño 2 en este caso).

La descomposición de árbol es una estructura de datos para almacenar de manera compacta estos pasos de partición recursiva. Considere el siguiente gráfico y su descomposición de árbol

Para contar usando esta descomposición, primero debe fijar los valores en los nodos 3,6, que lo dividen en 2 subproblemas. En el primer subproblema, también arreglaría el nodo 5, que divide su parte en dos subpartes más pequeñas.

El tamaño del separador más grande en una descomposición recursiva óptima es precisamente el ancho del árbol. Para problemas de conteo más grandes, el tamaño del separador más grande domina el tiempo de ejecución, por lo que esta cantidad es tan importante.

En cuanto a la noción de ancho de árbol que mide cuán cerca está el gráfico de un árbol, una forma de hacerlo intuitivo es mirar la derivación alternativa de la descomposición del árbol, a partir de la correspondencia con los gráficos cordales. Primero triangula el gráfico atravesando vértices en orden e interconectando todos los vecinos "de orden superior" de cada vértice.

Luego construya la descomposición de los árboles tomando camarillas máximas y conectándolas si su intersección es un separador máximo.

Los enfoques recursivos de separación y triangulación basados ​​en la construcción de descomposición de árboles son equivalentes. El ancho del árbol + 1 es el tamaño de la camarilla más grande en la triangulación óptima del gráfico, o si el gráfico ya está triangulado, solo el tamaño de la camarilla más grande.

Entonces, en cierto sentido, los gráficos cordales del ancho de árbol tw pueden considerarse como árboles donde, en lugar de nodos individuales, tenemos camarillas superpuestas de tamaño como máximo tw + 1. Los gráficos no cordales son tales "árboles de camarilla" a los que les faltan algunos bordes de camarilla

Aquí hay algunos gráficos cordales y su ancho de árbol.

Creo que el ancho del árbol en sí comenzó con el documento de Robertson Seymour ya entregado. Pero algunos precursores anteriores parecen ser:

• El concepto de una "dimensión" de un gráfico que controlaría el comportamiento de los algoritmos de programación dinámica en él, de Bertelé, Umberto; Brioschi, Francesco (1972), Programación dinámica no serial .

• El concepto de juegos de persecución-evasión en gráficos, de Parsons, TD (1976). "Persecución-evasión en un gráfico". Teoría y aplicaciones de gráficos . Springer-Verlag. pp. 426–441. Una variante de esto se demostró mucho más tarde que era equivalente al ancho del árbol: Seymour, Paul D .; Thomas, Robin (1993), "Búsqueda gráfica y un teorema min-max para el ancho de los árboles", Journal of Combinatorial Theory, Series B 58 (1): 22–33, doi: 10.1006 / jctb.1993.1027 .

• Jerarquías de separación para gráficos planos, comenzando por Ungar, Peter (1951), "Un teorema sobre gráficos planos", Journal of the London Mathematical Society 1 (4): 256, doi: 10.1112 / jlms / s1-26.4.256 , y continuando con varios documentos de Lipton y Tarjan en 1979-1980. El tamaño del separador más grande en una jerarquía de este tipo está estrechamente relacionado con el ancho del árbol.

Avanzando a un momento en que las ideas de Robertson-Seymour podrían haber comenzado a flotar, también hay un documento anterior a Graph Minors II que conecta explícitamente las ideas de búsqueda-evasión y separación, y que define una noción de ancho equivalente al ancho del camino : Ellis, JA; Sudborough, IH; Turner, JS (1983), "Separación gráfica y número de búsqueda", Proc. 1983 Allerton Conf. en Comunicación, Control e Informática.

En su monografía sobre teoría de grafos, Reinhard Diestel rastrea el concepto de ancho de árbol y descomposiciones de árboles hasta un artículo de 1976 de Halin (aunque no usa estos nombres). También atribuye a este documento el resultado de que los gráficos de cuadrícula plana tienen un ancho de árbol ilimitado. Por supuesto, también menciona el artículo posterior de Robertson y Seymour, quienes "redescubrieron el concepto, obviamente ignorantes del trabajo de Halin" (perdón si mi traducción es pobre).

• $S$
• Reinhard Diestel. Graphentheorie , 3.a edición alemana, Notizen zu Kapitel 10. (Algunas ediciones en inglés del libro están disponibles en línea para su descarga gratuita).

Robertson y Seymour introdujeron la noción de ancho de árbol [1] (y la noción similar de ancho de rama ) en sus documentos fundamentales sobre Graph Minors .

$G$$H$

Ver: N. Robertson, PD Seymour. Gráfico de Menores. II Aspectos algorítmicos del ancho del árbol . JCT Serie B (1986)