Dureza de los problemas de FPT

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La cubierta de vértices se puede reducir fácilmente a conjunto independiente y viceversa.

Sin embargo, en el contexto de la complejidad parametrizada, el conjunto independiente es más difícil que Vertex Cover. Existe un kernel con vértices para Vertex Cover, pero Independent Set es W 1 duro. $2k$

¿Cómo cambia la naturaleza del Conjunto Independiente en el contexto de FPT y por qué?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Nikhil
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Idea principal de la respuesta: si reducimos una instancia de Conjunto independiente parametrizado a Cubierta de vértice parametrizada, entonces el parámetro con el que terminamos depende del tamaño del gráfico, y no solo depende del parámetro de entrada. Ahora para más detalles.

Como sabe, un problema parametrizado está en FPT (uniforme) si hay un algoritmo que decide si una entrada está contenida en en el tiempo para alguna función . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

Dado que puede decidir si un gráfico tiene una cubierta de vértice de tamaño seleccionando un borde y bifurcando en cuál de sus dos puntos finales colocar en la cubierta de vértice, esta ramificación solo va profundo (de lo contrario, ha puesto más de vértices en la cubierta), y se ejecuta fácilmente en el tiempo ; por lo tanto, -Vertex Cover está en FPT. $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

Ahora supongamos que queremos intentar usar este algoritmo para mostrar que el Conjunto Independiente parametrizado está en FPT; Supongamos que se nos da un gráfico en vértices y queremos decidir si tiene un conjunto independiente de tamaño . Esto es equivalente a preguntar si tiene una cubierta de vértice de tamaño . Entonces usamos nuestro algoritmo anterior para calcular la respuesta en tiempo. Para nuestro algoritmo FPT, la función exponencial en el tiempo de ejecución puede depender del parámetro, que es , pero NO puede depender del tamaño de la entrada, que es $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; pero el enfoque que bosquejamos usa tiempo exponencial en y, por lo tanto, no es un parámetro FPT con respecto al parámetro . Es por eso que el hecho de que Vertex Cover esté en FPT no implica que Independent Set esté en FPT. $n - \ell$ $\ell$

— Bart Jansen
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Gracias por todas las respuestas. En un contexto de complejidad parametrizada, entiendo la idea cuando trato de estudiar la dureza del conjunto independiente, razonando desde Vertex Cover. Sin embargo, ¿no encontré ninguna explicación que analice Independent Set, independientemente del contexto de la cubierta de Vertex? ¿Hay algo en la estructura (o la naturaleza inherente) de encontrar un Conjunto Independiente que lo haga más difícil?

— Nikhil

Bart, ¿por qué no hay un parámetro

para el cual la reducción funcione como se desea?

k

$k$

— Raphael

@Raphael: ¿Podrías aclarar tu pregunta? Los únicos parámetros "permitidos" por la pregunta del OP son los tamaños de solución respectivos. Si permitimos parámetros arbitrarios, hay muchos para los cuales la reducción funciona como se desea (si entendí esta frase correctamente): por ejemplo, si mantenemos el parámetro como "tamaño de la cubierta de vértice de tamaño mínimo" para ambos problemas, entonces ambos son FPT; MinVC por el argumento de Bart, y MaxIndSet por el mismo argumento y usando la reducción del OP. Solo cuando insistimos en que el parámetro de MaxIndSet sea el tamaño de su solución, el problema se vuelve W [1] -duro.

— gphilip

¡Entendiste mi pregunta perfectamente! En ese sentido, la pregunta del OP está mal planteada: tiene sentido hablar sobre la complejidad parametrizada para pares de problemas y parámetros (no parametrizados). Mentalmente llené el vacío con un "forall", lo que significa que también leí la respuesta de Bart en el sentido "for all

", y pensé que estaba equivocado / incompleto. Por eso mi pregunta. Otras respuestas tienen el mismo problema, por cierto. Aparentemente, todos menos yo llenan el vacío con la elección canónica.

k

$k$

— Raphael

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No diría que la "naturaleza" del problema cambia, sea lo que sea que eso signifique. Todo lo que cambia es el parámetro, es decir, la forma en que mide la dificultad del problema.

Los gráficos que tienen una cubierta de tamaño de vértice como máximo están tan estructurados que es posible reducirlos de manera eficiente: podemos encontrar con avidez una coincidencia máxima de tamaño como máximo y el resto del gráfico es un conjunto independiente de tamaño al menos . Usando reglas de reducción como la reducción de la corona, el número de vértices se puede reducir a un máximo de . $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

Por otro lado, los gráficos que tienen cubiertas de tamaño de vértice como máximo (o de manera equivalente, los independientes máximos tienen un tamaño de al menos ) no parecen tener una estructura tan simple. Esto puede hacerse preciso, como usted señala: su estructura nos permite codificar cualquier problema . $n-k$ $k$ $W[1]$

— Holger
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Lo siguiente puede dar algo de intuición para la diferencia. Un subconjunto de vértices S es una cubierta de vértice de G = (V, E) si y solo si VS es un conjunto independiente, entonces si MVC es el tamaño de una cubierta de vértice mínimo, entonces MIS = | V | -MVC es el tamaño de El conjunto máximo independiente. Un algoritmo FPT parametrizado por X permite un tiempo de ejecución exponencial en función de X. Un gráfico aleatorio en n vértices con probabilidad de borde que tiene la mitad con un MIS de alta probabilidad de aproximadamente 2 logn y MVC de aproximadamente n-2logn. Por lo tanto, al menos para estos gráficos, un algoritmo FPT parametrizado por MVC simplemente permite mucho más tiempo que uno parametrizado por MIS.

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Aunque estoy de acuerdo con lo que otros han dicho, otra forma que encuentro útil al pensar en estas cosas es reformular el problema como un problema de reconocimiento, es decir, "¿El gráfico de entrada pertenece a la familia de gráficos que tienen cobertura de vértice como máximo k?" / "¿El gráfico de entrada pertenece a la familia de gráficos que tienen un conjunto independiente de al menos k?".

Intuitivamente, una familia de gráficos más restringida debería ser más fácil de reconocer que una familia más rica y general. La familia de gráficos de la cubierta de vértices a lo sumo k es muy restringida, de hecho, cada uno de estos gráficos puede describirse usando solo bits , que es mucho menor que losbits habitualesnecesarios , suponiendo que k es significativamente menor que n. La familia de gráficos de conjunto independiente al menos k, por otro lado, es muy rica: cualquier gráfico puede editarse para que pertenezca a él eliminando como máximo bordes. $O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

Entonces, para mí, esta es una explicación intuitiva de por qué esperaría que fuera más fácil reconocer una cubierta de vértice pequeña que un conjunto pequeño e independiente. Por supuesto, debería ser obvio que los pensamientos anteriores no están cerca de un argumento formal y supongo que, al final del día, la evidencia más convincente de que es más difícil reconocer un conjunto independiente de tamaño k es exactamente la dureza W de independiente ¡conjunto!

— Michael Lampis
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¿Cómo es suficiente la eliminación de

aristas para dar a un gráfico un conjunto independiente de

vértices? Creo que necesitarías

k^{2}

$k^2$

k

$k$

eliminaciones de bordes si desea obtener un conjunto independiente de tamaños

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

en un gráfico completo en

vértices.

k

$k$

n

$n$

— Bart Jansen

@Bart: para un conjunto independiente de

vértices, solo necesita asegurarse de que no exista un borde entre estos vértices , y que haya como máximo

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

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Esta es una respuesta muy indirecta, y es posible que no aborde su preocupación. Pero FPT y la jerarquía W están estrechamente vinculados con la aproximabilidad (los problemas de FPT a menudo tienen PTAS, etc.). En ese contexto, tenga en cuenta que para cualquier gráfico, VC = n - MIS, por lo que una aproximación para VC no da una aproximación para MIS. Es por eso que necesita reducciones en L para aproximaciones. Sospecho que también existe una noción equivalente de "reducción de preservación del núcleo" para la complejidad parametrizada.

— Suresh Venkat
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¿Existe una noción de "reducción de preservación del núcleo" en FPT?

— Nikhil

No sé: de ahí las citas :). Estoy esperando que los expertos en complejidad parametrizada intervengan.

— Suresh Venkat

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¡Lo acabas de convocar! ;)

— Raphael

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P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$