¿Hay alguna conexión entre la norma del diamante y la distancia de los estados asociados?

En la teoría de la información cuántica, la distancia entre dos canales cuánticos a menudo se mide utilizando la norma del diamante. También hay varias formas de medir la distancia entre dos estados cuánticos, como la distancia de rastreo, la fidelidad, etc. El isomorfismo de Jamiołkowski proporciona una dualidad entre canales cuánticos y estados cuánticos.

Esto es interesante, al menos para mí, porque la norma del diamante es notoriamente difícil de calcular, y el isomorfismo de Jamiołkowski parece implicar cierta correlación entre las medidas de distancia de los canales cuánticos y los estados cuánticos. Entonces, mi pregunta es la siguiente: ¿Existe alguna relación conocida entre la distancia en la norma del diamante y la distancia entre los estados asociados (en alguna medida)?

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— Joe Fitzsimons
fuente

No estoy seguro de lo que quiere decir con "la norma del diamante es notoriamente difícil de calcular". Si se le da un canal cuántico como una matriz explícita (por ejemplo, de su representación Choi-Jamiołkowski), se puede formular el cuadrado de su norma del diamante como un programa semidefinido; ver la Sección 20.4 de la nota de conferencia de John Watrous . En ese sentido, la norma del diamante tiene un medio eficiente para calcular.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: solo me refería a la optimización implícita. No quise decir que era computacionalmente difícil, sino bastante incómodo trabajar con él.

— Joe Fitzsimons

Estas son notas de clase muy bonitas, como un aparte.

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: Sí, son excelentes notas, pero no creo que respondan a esta pregunta en particular.

— Joe Fitzsimons

@ TsuyoshiIto: por alguna razón, la última sección en las diapositivas de QIP es 20.3, ¿tiene un conjunto de conferencias más completo?

— Artem Oboturov

Respuestas:

Para un canal cuántico , escribamos para denotar el estado asociado: Aquí estamos asumiendo que el canal asigna (es decir, matrices complejas) a para cualquier elección de enteros positivos y desee. La matriz veces se denomina matriz Choi o representación Choi-Jamiolkowski de , pero es más frecuente que esos términos se usen cuando se omite la normalización . $\Phi$ $J(\Phi)$

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$

Φ

$\Phi$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

Ahora, supongamos que y son canales cuánticos. Podemos definir la "distancia de la norma del diamante" entre ellos como donde denota el canal de identidad de a sí mismo, denota la norma de rastreo, y el supremum se toma sobre todas las y todas las matrices de densidad elegidas entre . El supremum siempre se logra para alguna elección de $\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$ algunas matrices de densidad de rango 1 .

ρ

$\rho$

(Tenga en cuenta que la definición anterior no funciona para asignaciones arbitrarias, solo aquellas de la forma para mapas completamente positivos y . Para asignaciones generales, el supremum se toma sobre todas las matrices con la norma de rastreo 1, en lugar de solo matrices de densidad). $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Si no tiene suposiciones adicionales en los canales, no puede decir demasiado sobre cómo se relacionan estas normas, aparte de estos límites generales: Para la segunda desigualdad, uno se está conformando esencialmente con la opción específica en lugar de tomar el supremum sobre todo

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . La primera desigualdad es mucho más difícil, pero sería una pregunta de asignación razonable para un curso de posgrado sobre información cuántica. (En este punto, debería agradecerle su pregunta, porque tengo la intención de utilizarla en la oferta de otoño de mi curso de teoría de la información cuántica).

Puede lograr cualquier desigualdad para una elección adecuada de canales y , incluso bajo el supuesto adicional de que los canales son perfectamente distinguibles (es decir, ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— John Watrous
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Gracias John, eso responde perfectamente a mi pregunta y me ha ahorrado mucho tiempo.

— Joe Fitzsimons

También es posible que desee analizar las medidas de distancia para comparar procesos cuánticos reales e ideales arXiv: quant-ph / 0408063, que ofrece una visión general de las medidas de distancia para canales cuánticos y sus relaciones.

Usan el término distancia S para la distancia del diamante y distancia J para la distancia de rastreo de los operadores Jamiołkowski asociados a los canales.

— Antonio Valerio Miceli-Barone
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Me gusta pensar en la primera desigualdad que escribió Watrous en términos de teletransportación de canal probabilístico. Si interpreta la norma del diamante como una medida de la menor probabilidad de error al discriminar los canales y , y la norma de rastreo como el equivalente para sus estados de Jamiolkowski, siempre puede implementar la estrategia óptima para los canales desde sus estados correspondientes con probabilidad de éxito. Poner esto rigurosamente puede ser una forma de probar la desigualdad. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Además, esta forma de pensar muestra que si los canales pueden teletransportarse de manera determinista (como los canales de Pauli), entonces su norma de diamante es igual a la distancia de rastreo de Jamiolkowski.

— Alex Monras
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