¿Cuál es la definición precisa de Random K-SAT?

Hay 4 restricciones diferentes que podemos tener al definir Random K-SAT.
1) El número total de literales en una cláusula dada es exactamente K o como máximo K
2) Un literal dado se puede usar con o sin reemplazo en la misma cláusula (A o A o A)
3) Una variable dada se puede usar con o sin reemplazo en la misma cláusula (A o ~ A o ~ A)
4) Una cláusula dada se puede usar con o sin reemplazo en una fórmula dada
¿Cuál sería la definición más "correcta"? ¿Cuáles son las desventajas y las ventajas de usar estas diferentes definiciones?

$k$

$k$ $k$

Dos modelos principales:

El modelo aleatorio de Selman : se permiten cláusulas repetidas . Kyle dio esta buena referencia en los comentarios a su respuesta, pero asumió incorrectamente que el modelo rechazaba cláusulas repetidas. La versión enlazada (ligeramente diferente) del documento contiene una discusión más detallada del modelo aleatorio en la Sección 3: "Este método de generación permite cláusulas duplicadas en una fórmula ... Sin embargo, a medida que N obtiene duplicados grandes, será raro porque generalmente seleccione solo un número lineal de cláusulas ".

$m$$2^k {n \choose k}$

Equivalencia de ubicaciones de transición de fase :

Sin embargo, la transición de fase (umbral de satisfacción del 50%) ocurre en la misma relación de cláusula a variable, independientemente de cuál de estos modelos se elija esencialmente por la razón que Selman et al. señalado en su papel.

Supongamos que denota el número esperado de pares idénticos de cláusulas en una instancia aleatoria de Selman -SAT. La probabilidad de que un par de cláusulas sea idéntico es , mientras que el número total de pares de cláusulas es . Por la linealidad de la expectativa, .$A(n,m,k)$$(n,m,k)$$p = 1/(2^k {n \choose k})$$N = {m \choose 2}$$A(n,m,k) = p \cdot N = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}}$

Según el Teorema 3 en [1], el límite superior demostrable en la ubicación de la transición de fase -SAT, usando el modelo Achlioptas, ocurre cuando . Al fijar y establecer obtenemos$k$$m = O(2^k n)$$k \geq 3$$m = O(2^k n)$

$A(n,m,k) = {m \choose 2}/{2^k {n \choose k}} = O(m^2)/O(n^k) = O(n^2)/O(n^k)$ .

Entonces, porque , , lo que significa que en la expectativa habrá cero cláusulas repetidas alrededor del -SAT transición de fase al generar fórmulas SAT aleatorias utilizando el modelo Selman.$k \geq 3$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} O(n^2)/O(n^k) = 0$$k$

Auto promoción desvergonzada: discuto estos temas brevemente en la Sección 4.1 de mi tesis de maestría .

QBF aleatorio

Como resultado, la situación es mucho más interesante para QBF aleatorio. ¿Cuáles son AFAIK? Los primeros tres documentos sobre QBF aleatorio propusieron cada uno un nuevo modelo aleatorio, criticando a su predecesor.

Ver los siguientes documentos:

• Cadoli y col. "Análisis experimental del costo computacional de la evaluación de fórmulas booleanas cuantificadas". AI * IA 1997
• Gent + Walsh "Más allá de NP: la transición de fase QSAT". AAAI / IAAI 1999
• Chen + Interian "Un modelo para generar fórmulas booleanas cuantificadas al azar". IJCAI 2005

[Editado para mayor claridad]

La definición más utilizada en la literatura de investigación es la que requiere exactamente k variables distintas por cláusula, y no cláusulas duplicadas. Si relaja la restricción de las distintas variables, gran parte de la investigación existente no tendrá sentido para usted porque sus resultados no coincidirán con los suyos. La conocida transición de fase sat / unsat ocurrirá en una relación de cláusula a variable diferente (si la transición existe) y no encontrará las instancias difíciles de SAT donde esperaría de la literatura.