Un juego en varios gráficos.

Considere el siguiente juego en un gráfico ponderado dirigido con una ficha en algún nodo.$G$

Todos los nodos de están marcados por A o B.$G$

Hay dos jugadores, Alice y Bob. El objetivo de Alice (Bob) es cambiar el chip a un nodo marcado por A (B).

Inicialmente, Alice y Bob tienen y dólares respectivamente.$m_A$$m_B$

Si un jugador está en una posición perdedora (es decir, la posición actual de la ficha está marcada con la letra opuesta), puede mover la ficha a un nodo vecino. Tal movimiento cuesta algunos dólares (el peso del borde correspondiente).

El jugador pierde si él o ella está en una posición perdedora y no tiene dinero para arreglarlo.

Ahora considere el lenguaje GAME que consiste en todos los gráficos ponderados dirigidos (todos los pesos son enteros positivos), la posición inicial del chip y las mayúsculas de Alice y Bob que se dan en la representación unaria$G$

tal que Alice tiene una estrategia ganadora en este juego.

El juego de lenguaje pertenece a P . De hecho, la posición actual del juego está definida por la posición del chip y las mayúsculas actuales de Alice y Bob, por lo que la programación dinámica funciona (aquí es importante que las mayúsculas iniciales se den en la representación unaria).

Ahora considere la siguiente generalización de este juego. Considere varios gráficos ponderados dirigidos con un chip en cada gráfico. Todos los nodos de todos los gráficos están marcados por A y B. Ahora Bob gana si todas las fichas están marcadas por B y Alice gana si al menos una ficha marcada por A.$G_1, \ldots G_n$

Considere el lenguaje MÚLTIPLES JUEGOS que consta de todos los gráficos $G_1, \ldots, G_n$ , posiciones iniciales y mayúsculas $m_A$ y $m_B$ (en la representación unaria) de manera que Alice gane en el juego correspondiente. Aquí es importante que las capitales sean comunes para todos los gráficos, por lo que no se trata solo de varios GAME independientes.

Pregunta ¿Cuál es la complejidad del lenguaje MULTI-JUEGOS? (¿También pertenece a P o hay algunas razones para pensar que este problema es difícil?)

UPD1 Neal Young sugirió utilizar la teoría de Conway. Sin embargo, no sé si es posible usar esta teoría para varios juegos con capital común.

UPD2 Quiero mostrar un ejemplo que muestre que MULTI-GAME no es muy simple. Deje que Alice divide su capital de $m_A$ de algunos $n$ términos $m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ (Ella se va a utilizar $a_i$ dólares para $i$ gráfica -ésimo). Defina $b_i$ como el número mínimo tal que en el $i$ -ésimo juego Bob gane si Alice y Bob tienen $a_i$ y $b_i$ dólares respectivamente. Si $b_1 + \ldots b_n > m_B$ (para algunas divisiones$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ ) entonces Alice gana. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Considere dos copias del siguiente gráfico (inicialmente, el chip está en la parte superior izquierda A):

Por un gráfico Bob victorias si $m_A=0$ y $m_B=2$ o si $m_A=1$ y $m_B=3$ . Sin embargo, para el juego con dos copias de este gráfico Bob pierde si $m_A=1$ y $m_B=5$ . De hecho, Bob tiene que pasar $4$ o $5$ dólares para cambiar ambos chips a un nodo marcado por $B$ . Luego, Alice puede cambiar al menos un chip a un nodo marcado por A. Después de eso, Bob no tiene dinero para salvar su posición.

UPD3 Dado que la pregunta para gráficos arbitrarios parece difícil, considere gráficos específicos. Denote los nodos de algún gráfico $G_i$ como $1, \ldots k$ . Mi restricción es la siguiente: para cada par $i<j$ existe un borde de $i$ a $j$ y no existe el borde inverso. También existe una restricción para los costos de las aristas: para $i<j<k$ la arista $j$ a $k$ no es mayor que de $i$ a $k$ .

Dado que la respuesta de Steven Stadnicki no parece haber sido aceptada por el autor de la pregunta, pensé que aún podría ser útil proporcionar una actualización: tengo una reducción de 3SAT a MULTI-GAME. No he mirado la respuesta de Steven con cuidado ni he seguido el enlace que proporcionó, pero en base a la siguiente reducción no me sorprendería si MULTI-GAME es realmente PSPACE-complete. Sin embargo, podría no molestarme en extender este resultado más allá de la dureza NP.

Una instancia de 3SAT consta de cláusulas $C_1, \dots, C_m$ , cada cláusula tiene la forma $C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$ donde cada $L_{ik}$ es una de las variables $x_1, \dots, x_n$ o la negación de una de las variables.

Dada tal instancia de 3SAT, la reducción crea una instancia MULTI-GAME que consta de $n + 1$ juegos, uno para cada variable y otro juego utilizado como sumidero de capital en exceso. Primero definiremos la estructura de los gráficos para cada juego, luego veremos un ejemplo y discutiremos la idea central, y luego descubriremos qué costos exactos asignar a los bordes para que la reducción se mantenga firme.

Primero, el gráfico de juego variable $G_j$ para cada variable $x_j$ :

1. Cree un vértice etiquetado $x_j$ marcado con una A (es decir, un vértice ganador para Alicia). El chip para $G_j$ comienza en el vértice $x_j$ .
2. Cree un vértice etiquetado como $T$ y un vértice etiquetado como $F$ , cada uno marcado con una B (es decir, ambos son posiciones ganadoras para Bob). Cree bordes dirigidos desde $x_j$ hasta $T$ y $F$ , ambos con costos de $1$ .

3. Para cada literal $L_{ik}$ de la cláusula $C_i$ , si $L_{ik} = x_j$ o $L_{ik} = \neg x_j$ , cree vértices etiquetados $C_iTA$ y $C_iFA$ marcados con A y vértices etiquetados $C_iTB$ y $C_iFB$ marcado con B. Agregar bordes $(T, C_iTA)$ y$(F, C_iFA)$ con costos ambos establecidos en$l_{ik}$ . (Definiremos$l_{ik}$ más tarde).

   Agregue aristas $(C_iTA, C_iTB)$ y $(C_iTA, C_iTB)$ . Si $L_{ik} = x_j$ , entonces establezca el costo de $(C_iTA, C_iTB)$ en $l_{ik} - 1$ y $(C_iTA, C_iTB)$El costo de T B ) para$l_{ik}$ . De lo contrario, ajuste elcosto de$(C_iTA, C_iTB)$ a$l_{ik}$ y elcosto de$(C_iTA, C_iTB)$ a$l_{ik} - 1$ .

El juego del sumidero de capital:

1. Cree un vértice etiquetado $C$ , marcado con B.
2. Para cada cláusula $C_i$ , cree un vértice etiquetado $C_iA$ marcado con A, y un vértice etiquetado $C_iB$ marcado con B. Cree un borde $(C, C_iA)$ con el costo de borde $c_i$ (nuevamente se determinará a continuación) , y una arista $(C_iA, C_iB)$ también con costo de arista $c_i$ .

Esto es mucho para asimilar, así que espero que un ejemplo lo haga un poco más digerible. Nuestra instancia de 3SAT es la siguiente:

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

La reducción convierte esta instancia en 4 gráficos de juego variables y 1 gráfico de sumidero de capital. En los siguientes diagramas, los vértices rojos están marcados con A (es decir, son posiciones ganadoras para Alice), y los vértices cian están marcados con B (son posiciones ganadoras para Bob).

Gráfico para $x_1$ :

Gráfico para $x_2$ :

Gráfico para $x_3$ :

Gráfico para $x_4$ :

Gráfico para el sumidero de capital:

La idea es la siguiente:

Bob se ve obligado a hacer los primeros $n$ movimientos para salir de las posiciones perdedoras en los $n$ juegos variables. Cada movimiento de este tipo codifica una asignación de verdadero o falso a la variable correspondiente.

Entonces, Alice tendrá suficiente capital para hacer exactamente 4 movimientos, cada uno de los cuales Bob necesitará tener suficiente capital para igualar para que Bob gane. Los valores $c_i$ y los valores $l_{ik}$ deben elegirse de modo que la única estrategia ganadora posible de Alice sea la siguiente, para alguna cláusula $C_i$ :

Cláusula de Alice $C_i$ estrategia: sea $C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$ . Para cada $k \in \{1, 2, 3\}$ , si $L_{ik} = x_j$ o $\neg x_j$ , pasar a $C_i?A$ en el juego variable para $x_j$ . También pasa a $C_iA$ en el juego de sumidero de capital.

( $C_i?A$ denota $C_iTA$ o $C_iFA$ , solo uno de los cuales es accesible en un juego variable dado después de los movimientos iniciales de Bob).

Si la apertura de Bob corresponde a una asignación de verdad que deja insatisfecha alguna cláusula $C_i$ , entonces Alice elegir $C_i$ e implementar la estrategia anterior le cuesta a Alice $l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$ capital implementar, y Bob lo mismo vencer; si, por otro lado, $C_i$ está satisfecho, entonces el contrajuego de Bob obtiene un descuento de al menos $1$ . Nuestro objetivo en el establecimiento de $c_i$ y $l_{ik}$ valores y las capitales iniciales de Alice y Bob es asegurar que dicho descuento sea el factor decisivo para que Alice o Bob ganen.

Para ese fin, establezca $b = m + 1$ , y establezca

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$ para cada$k \in \{1, 2, 3\}$ ,

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$ ,

El capital inicial de Alicia es $9b^{10} + b^8$ ,

y el capital inicial de Bob a $9b^{10} + b^8 + n - 1.$

Tenga en cuenta que todos estos valores son polinomiales en $m$ , por lo que la instancia MULTI-GAME generada por la reducción tiene un tamaño polinomial en el tamaño de la instancia 3SAT, incluso si estos costos están codificados en unario.

Tenga en cuenta también que para cada cláusula $C_i$ , $l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$ es el capital inicial de Alice. (Que también es $1$ mayor que la capital de Bob después de hacer los primeros $n$ movimientos).

En primer lugar, queda claro de inmediato que si la apertura de Bob define una asignación de verdad que deja una cláusula $C_i$ insatisfecha, entonces Alice gana usando su estrategia de cláusula $C_i$ dada anteriormente.

Si la apertura de Bob satisface todas las cláusulas, podemos argumentar restricciones sobre las opciones de Alice que descartan cualquier otra posibilidad de que Alice gane. Tenga en cuenta que el orden en que Alice realiza sus movimientos es irrelevante, ya que las respuestas de Bob son forzadas y el capital total que Bob necesitará para responder a los movimientos de Alice no cambia por el orden de los movimientos de Alice.

• Alice no puede hacer más de 4 movimientos: si Alice hace 5 o más movimientos, entonces sus movimientos tienen un costo total de $\ge 5b^{10}$ , lo que excede su presupuesto.
• Alice debe hacer 4 movimientos: si Alice selecciona 3 movimientos del juego sumidero de capital, entonces su costo total es $\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$ que supera el presupuesto. Si selecciona incluso un movimiento de 3 de un juego variable, entonces su costo total es $\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$ que es sustancialmente menor que el capital posterior a la apertura de Bob, por lo que Bob puede permitirse fácilmente el contrajuego.
• Alice debe seleccionar un movimiento del juego de hundimiento de capital: si no lo hace, entonces selecciona 4 movimientos de juegos variables, con un costo total $\le 8b^{10} + 4b^7$ , y nuevamente Bob puede permitirse el contrajuego. (Tenga en cuenta que si hubiera un juego separado de sumidero de capital por cláusula, incluso podríamos demostrar que Alice debe jugar exactamente en uno de esos juegos).

Desde esta etapa podemos ignorar los términos $b^{10}$ y $b^8$ en los costos de movimiento elegidos, ya que siempre sumarán $9b^{10} + b^8$ . Desde Alice debe elegir exactamente un movimiento en el juego disipador de capital, asumir que es movida a $C_iA$ . Entonces Alice ha (ignorando $b^{10}$ y $b^8$ términos) $\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$ capital restante, y Bob tiene $1$ menos de esta cantidad restante.

• Alice debe seleccionar al menos un movimiento que cueste $l_{j3}$ para alguna cláusula $C_j$ : si no lo hace, entonces sus movimientos cuestan (nuevamente términos de orden inferior) $\le 3b^5$ , y Bob tiene más que suficiente capital para contrajuego.
• Dicho movimiento que cuesta $l_{j3}$ debe ser el movimiento que cuesta $l_{i3}$ : no puede ser un movimiento que cueste $l_{j3}$ para $j > i$ , de lo contrario, este movimiento solo cuesta $\ge (i+1)b^6$ que es mayor que el resto de Alice presupuesto. Si es $l_{j3}$ para $j < i$ , entonces el movimiento de coste $l_{(i - j)3}$ también debe ser elegido por Alice para agotar el $b^6$plazo de pedido en el presupuesto restante de Bob. Pero entonces, o bien el término de orden $b^2$ en el presupuesto restante de Bob o el término de orden $b^2$ no se agota, por lo que Bob gana fácilmente.

Argumentos similares deberían establecer que Alice debe seleccionar los movimientos que cuestan $l_{i2}$ y $l_{i1}$ . Si la asignación de verdad de Bob satisface $C_i$ , entonces incluso esta estrategia no funciona, ya que el descuento que Bob obtiene en uno de los costos basados ​​en $l_{ik}$ compensa el $1$ capital menos que tiene después de su apertura.

Una observación sobre mi respuesta anterior: es obvio en retrospectiva que, para la variante TABLE-GAME de MULTI-GAME que definí en los comentarios de esa respuesta, un DP de estilo mochila resulta suficiente para determinar qué jugador tiene una estrategia ganadora. Puede argumentar que la mejor estrategia de Bob es responder siempre a un estado perdedor en una mesa de juego dada con la mínima inversión posible (esto no puede cortar un movimiento posterior para Bob que él tendría de otra manera), y a partir de ahí que el orden de los movimientos de Alice no importa. Luego se convierte en una cuestión de elegir una división del capital de Alice entre los juegos, de modo que la suma de las respuestas ganadoras mínimas de Bob sobre esos juegos exceda su presupuesto, que puede reformularse como un problema de estilo de mochila, que tiene un DP de tiempo polinómico debido a la representación unaria de costas. (Mi recurrencia en realidad '

Resulta que incluso una estructura de árbol simple para cada juego, con una profundidad constante y realmente solo una bifurcación significativa por juego (es decir, aquellas al comienzo que obligan a Bob a elegir una asignación de verdad) es suficiente para obtener la dureza NP. Tuve algunas ideas para deshacerme de esa bifurcación inicial, que se estancó al obligar de alguna manera a Bob a invertir una cantidad fija de capital relativamente grande en $n$ juegos sin que Alice tenga que comprometerse previamente con esos juegos, pero obviamente ya que TABLE-GAME está en P esto no es posible sin la horquilla.

No he pensado mucho en su caso especial de UPD3 . Sospecho que también es NP-hard, por la razón de que mis dispositivos variables parecen a simple vista que pueden adaptarse a esas restricciones, pero probablemente no lo investigaré más a fondo.

Actualización: probablemente incorrecta, dejando por ahora como un registro de haber explorado una avenida. Ver comentarios.

Actualización 2: definitivamente incorrecta.

Considere una gráfica de la forma (B) -1-> (A) -1-> (B), es decir, $G = (V, E)$ , donde $V = \{1, 2, 3\}$ , $E = \{(1, 2), (2, 3)\}$ , los vértices 1, 2, 3 están etiquetados como B, A, B respectivamente, y los bordes tienen todos los costos asignados de 1.

Defina una instancia de 3 juegos de MULTI-GAME configurando $m_A = m_B = 2$ , $G_1 = G_2 = G_3 = G$ , con los tres juegos comenzando en el vértice 1. Claramente, Alice no puede ganar este juego.

Sin embargo, la recurrencia a continuación falla para $M[3,2,2]$ : no hay división de los fondos de Bob $2-u, u$ entre los dos primeros juegos y el tercer juego de tal manera que para todas las divisiones de los fondos de Alice $v, 2 - v$ , tanto $M[2, 2 - u, 2 - v] = B$ y $W[3, u, v] = B$ . Si$u = 1$ o$u = 2$ , entonces$M[2, 2 - u, 2] = A$ ; y si$u = 0$ entonces$W[3, u, 2] = A$ .

No veo una forma inmediata de salvar este enfoque. Invertir el orden de cuantificación en $u$ y $v$ hace que la recurrencia falle en la instancia en la actualización 2 de la publicación de preguntas.

$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

Precomputar

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

$x \le m_A$$y \le m_B$

$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

y

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

$M[n, m_A, m_B] = A$

$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$$0$

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$