¿Análisis matemático y complejidad computacional?

La complejidad computacional implica grandes cantidades de combinatoria y teoría de números, algunas ingrididades del estocástico y una cantidad emergente de álgebra.

Sin embargo, al ser un analista, me pregunto si hay aplicaciones de análisis en este campo, o tal vez ideas inspiradas en el análisis. Todo lo que sé que corresponde ligeramente a esto es la transformación de Fourier en grupos finitos.

¿Me puedes ayudar?

Flajolet y Sedgewick publicaron el libro "Combinatoria analítica" http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/anacombi.html . No sé mucho sobre ese tema, pero las personas en el campo usan herramientas de análisis complejos. Hasta ahora, sus aplicaciones parecen más en el análisis de algoritmos, no en la complejidad computacional, por lo que veo.

Los algoritmos de Markov Chain Monte Carlo son una herramienta útil para encontrar algoritmos de aproximación. Algunas técnicas para mostrar que estas cadenas de mezcla de Markov están inspiradas o provienen directamente del análisis, por ejemplo, vea el capítulo sobre la estimación del volumen de un cuerpo convexo en el libro de Mark Jerrum sobre el conteo .

Existen enfoques analíticos para el lema de Szemerédi, que tiene una linda aplicación para las pruebas de propiedades combinatorias. El lema de Szemerédi para el analista tiene un algoritmo aleatorio para encontrar una partición débilmente regular de un gráfico; también vea Límites de gráficos y Pruebas de parámetros .

El análisis funcional juega un papel cada vez más importante en la teoría de las incorporaciones métricas. Si bien es difícil enumerar todos los aspectos de la interacción, el tema principal es el uso de métodos de análisis funcional para comprender cómo las métricas se integran en espacios normados. Este último problema surge en el problema de corte más escaso, que es un importante problema de optimización de gráficos.

Para obtener más información, una buena fuente es cualquier cosa de Assaf Naor .

No se trata de la complejidad computacional, pero sí interesante.

Algunos enfoques de la semántica de la computación infinita se basan en espacios métricos. Buscar en Google la "semántica del espacio métrico" aparece mucho. Una referencia (antigua) sobre el tema es Control Flow Semantics de de Bakker y de Vink. Algunos trabajos recientes han sido realizados por nuestro propio Neel , es decir, semántica ultramétrica para programas reactivos . El área es muy diferente de las descritas anteriormente, pero los conceptos del análisis ciertamente encuentran su hogar aquí.

La teoría de la medida limitada por los recursos desarrollada por Jack Lutz es un área excelente para las personas que tienen experiencia en análisis para trabajar. El papel original

Casi en todas partes de alta complejidad no uniforme , Jack H. Lutz, Journal of Computer and System Sciences, 1992.

generalizamos la noción de medida de Lebesgue en clases de complejidad, y muchos de los siguientes trabajos se pueden encontrar en Internet.

$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE} = \mathsf{DSPACE}[2^{O(n)}]$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{ESPACE}$$\Omega(2^n/n)$$\mathsf{ESPACE}$

Las personas que trabajan en diferentes áreas de la informática pueden beneficiarse de varios subcampos de análisis.

Para darle un ejemplo concreto, describiré mi propio caso. Estoy realizando investigaciones sobre fundamentos de la criptografía. En este campo (así como en la complejidad computacional), hay una construcción llamada oráculo aleatorio (vea también esta página ). Sus diversas propiedades a veces se estudian explotando herramientas de la teoría de la medida , que es un subcampo de análisis. Tal tratamiento se puede encontrar en este documento , así como en varios documentos que lo citan.

También puedes echar un vistazo a Conceptos básicos de álgebra y análisis para informática de Jean Gallier. Es un libro en progreso y te dice qué hay de nuevo en el campo.

Creo que la mejor conexión entre el análisis matemático y la teoría de la complejidad está en el modelo de computación real de Blum et al. Todavía es un problema abierto separar NP_R de P_R, donde las dos clases se definen en el modelo de cálculo real, en el que cada número real es una entidad, y una operación regular (+, -, *, /) da un paso.