Aquí hay solo un par de observaciones que no podría incluir en un comentario:
0) Se agregó porque se eliminó la primera respuesta: hay una interpretación de , es decir, indexando las filas y columnas por , la entrada correspondiente a es si el producto Hadamard tiene paridad par, y si tiene paridad impar.Hn{0,1}n(x,y)1x⊙y=(x1y1,…,xnyn)−1
1) En general, el espectro de las matrices de bloques puede ser muy complicado y no obviamente relacionado con los espectros de los bloques individuales, ya que el polinomio característico se verá horrible . Pero para una matriz de bloque simétrica que podría surgir a través de una construcción recursiva como y arriba, donde cada matriz es cuadrada, una de las únicas simplificaciones ocurren cuando y conmutan, en cuyo caso uno tiene . Entonces el polinomio característico de seráM=(ABTBC)AnHnBTCdet(M)=det(AC−BBT)Mdet((λI−A)(λI−C)−BBT)=det(λ2I−λ(A+C)+AC−BBT).
Para que esto conduzca a fórmulas recursivas agradables para los valores propios, uno básicamente necesita para eliminar el término lineal . Si más y son simétricos y conmutan, obtenemos
de los cuales uno lee fácilmente los valores propios usando el Las matrices de conmutación simétrica de hecho admiten una base propia común. Esto puede ser obvio, pero todo esto es para decir que, en cuanto a obtener buenas fórmulas recursivas para los valores propios, es básicamente esencial exigir que el bloque inferior derecho sea y esperar que los bloques inferior izquierdo y superior derecho sean simétricos y viajar con , que es el caso deC=−AλABdet(λI−M)=det(λ2I−(A2+B2)),
−AAAn(con ) y matrices (con ).B=IHnB=Hn−1=A
2) En la pregunta de signo aleatorio: la firma de la matriz de adyacencia dada en el documento es óptima en el sentido de maximizar , que es necesaria para el límite inferior a través del entrelazado Cauchy, y puede ser visto desde medios elementales. Para una firma arbitraria de la matriz de adyacencia del hipercubo dimensional, se obtiene inmediatamente
donde . Si para alguna firma uno tiene , entonces
λ2n−1MnnTr(Mn)=∑i=12nλi(Mn)=0,Tr(M2n)=∑i=12nλi(Mn)2=∥Mn∥2F=n2n,
λ1(Mn)≥λ2(Mn)≥…≥λ2n(Mn)Mnλ2n−1(Mn)>n−−√∑i=12n−1λi(Mn)>n−−√2n−1,∑i=12n−1λi(Mn)2>n2n−1.
Entonces se puede ver que no es posible satisfacer las igualdades de trazas anteriores: los valores propios negativos deben sumar estrictamente más de (en valor absoluto), y sus cuadrados deben sumar estrictamente menos que . Minimizar la suma de cuadrados mientras se mantiene constante la suma ocurre cuando todos son iguales, pero en este caso la suma de cuadrados será demasiado grande de todos modos. Entonces, para cualquier firma, se puede ver a través de medios elementales que sin conocer la firma mágica en el documento, donde la igualdad se cumple si los valores sonn−−√2n−1n2n−1λ2n−1(Mn)≤n−−√n−−√,…,n−−√,−n−−√,…,−n−−√. Que realmente exista tal firma lograrlo es bastante sorprendente. Los valores propios de la matriz de adyacencia son normales , donde el º valor propio tiene multiplicidad , por lo que es muy interesante (para mí, de todos modos) cómo el signo maximiza , mientras que este maximiza .−n,−n+2,…,n−2,ni(ni)+1λ1λ2n−1
En cuanto a un trabajo de firma aleatoria, es más difícil de decir porque creo que la mayoría de los límites no asintóticos en los valores propios se centran en la norma espectral. Uno espera que las firmas aleatorias suavicen los valores propios usuales extremos, y de hecho, utilizando la desigualdad Khintchine no conmutativa y / o límites más recientes como aquí , una firma aleatoria uniforme tiene . Es difícil para mí imaginar que los valores propios medios estarían en un orden polinomial similar al líder en expectativa (y los resultados asintóticos como la ley semicircular para diferentes conjuntos de matrices sugieren de manera similar, creo), pero tal vez sea posible.E[∥Mn∥2]=Θ(n−−√)