¿Se puede muestrear eficientemente un vecino de un vértice en el gráfico de un politopo?

Tengo un politopo $P$ definido por $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$ .

Pregunta: Dado un vértice $v$ de $P$ , ¿existe un algoritmo de tiempo polinómico para muestrear uniformemente de los vecinos de $v$ en el gráfico de $P$ ? (Polinomio en la dimensión, el número de ecuaciones y la representación de $b$ . Puedo suponer que el número de ecuaciones es polinomial en la dimensión).

Actualización: creo que pude demostrar que esto es NP-hard, vea mi respuesta que explica el argumento. (Y por $NP$ -hard, quiero decir que un algoritmo de tiempo polinomial probaría $RP = NP$ ... no estoy seguro de cuál es la terminología correcta aquí).

Actualización 2: Hay una prueba de 2 líneas de dureza $NP$ (dado el politopo combinatorio correcto) y pude encontrar un artículo de Khachiyan. Ver respuesta para descripción y enlace. :-RE

Un problema equivalente :

En los comentarios, Peter Shor señaló que esta pregunta es equivalente a la pregunta de si podemos muestrear uniformemente desde los vértices de un politopo dado. (Creo que la equivalencia es así: en una dirección, podemos pasar de un politopo $P$ con un vértice $v$ a la figura del vértice en $v$ , $P/v$ , y muestrear los vértices de $P/v$ es equivalente a muestrear los vecinos de $v$ en $P$ En la otra dirección, podemos pasar de un politopo $P$ a un politopo $Q$ de una dimensión superior agregando un cono con vértice $v$ y base $P$. Luego, muestrear los vecinos de $v$ en $Q$ es equivalente a muestrear los vértices de $P$ ).

Esta formulación de la pregunta se ha hecho antes: /mathpro/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

Edición 2: Vergonzosamente, hay una prueba de dos líneas de la dureza $NP$ , si una comienza con el politopo correcto.

Primero, recuerde que el politopo de circulación de un gráfico en la parte inferior de la página 4 de Generar todos los vértices de un poliedro es difícil .

Sus vértices están en correspondencia biyectiva con los ciclos simples dirigidos. Por lo tanto, son difíciles de muestrear o contar por la Propuesta 5.1 de JVV . :-RE

Equipado con estas palabras clave, pude encontrar la dureza del resultado del muestreo como teorema 1 de Hipergrafías transversales y familias de conos poliédricos de Khachiyan.

Editar: escribí el argumento a continuación, y parece correcto. Sin embargo, hay un argumento mucho más simple, que esbozaré aquí:

a) Mediante el análisis de algoritmos de retroceso para enumerar todos los vértices y todas las caras de un poliedro convexo (Fukuda et al.) es fuertemente NP-difícil resolver el siguiente problema en politopos:

Entrada: A polytope $Ax = b , x \geq 0$ en $\mathbb{R}^n$ un subconjunto $S \subseteq n$

Salida: Si hay un vértice $v$ de $P$ que es distinto de cero en cada una de las coordenadas en $S$ .

b) Dado esto, se puede hacer la siguiente construcción: introducir nuevas variables $y_{ik}$ para $i \in S$ y $k = 1, \ldots, d$ , e introducir la desigualdad $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ . Llame al politopo resultante $P_{S,d}$ . El objetivo de esta construcción es introducir un hipercubo sobre cada vértice, de dimensión $d |supp(x) \cap S|$.

c) Se puede verificar que todos los vértices de este politopo estén por encima de los vértices del antiguo politopo y que el número de vértices sobre un vértice sea $2^{d | supp(x) \cap S|}$, donde $supp$ es la función que envía un vértice a las coordenadas donde no es cero.

d) Por un argumento habitual de tipo cadena de bigones, se deduce que al tomar $d$ suficientemente grande, una muestra uniforme de los vértices de $P_{S,d}$ (con alta probabilidad) daría una muestra de los vértices maximizando el tamaño de su intersección con $S$ .

Parece que hay varias extensiones de esto. Actualizaré con un enlace cuando finalice la escritura.

(El viejo argumento solía estar aquí, está en el historial de edición. Lo eliminé porque es muy largo e interferirá para encontrar la respuesta correcta a la pregunta).