Número de vértices alcanzables en DAG para cada vértice

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Sea un gráfico dirigido acíclico, de modo que el grado de salida de cualquier vértice sea . Para cada vértice de podemos contar el número de vértices alcanzables, simplemente ejecutando dfs desde cada vértice y esto llevará tiempo . ¿Hay una mejor manera de resolver este problema? $G(V,E)$ $O(\log{|V|})$ $G$ $O(|V||E|)$

— MikleB
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Relacionado: cstheory.stackexchange.com/q/736/236 cstheory.stackexchange.com/q/553/236

— Radu GRIGore

1

@Radu, ¿es un duplicado directo? suena así

— Suresh Venkat

@Suresh, en comparación con mi pregunta, esta tiene un límite superior en el grado de vértice y no solicita límites inferiores. Estas son pequeñas diferencias en mi opinión, por lo que lo consideraría un duplicado, pero no me siento muy convencido.

— Radu GRIGore

1

ok, entonces lo dejaremos como está.

— Suresh Venkat

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La respuesta de Virgi a mi pregunta implica un algoritmo

para este.

O (| V |^{2})

$O(|V|^2)$

— Radu GRIGore

5

El mejor algoritmo exacto se ejecutará en el tiempo O (min {mn, n ^ 2.38}) usando la multiplicación de matriz binaria rápida. Sin embargo, existe un algoritmo aleatorio, que se ejecuta en el tiempo O (m + n) y estima el número de nodos alcanzables desde cada nodo con un pequeño error relativo, consulte el " Marco de estimación de tamaño con aplicaciones para el cierre transitivo y la accesibilidad "por Edith Cohen.

— usuario22547
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-1

No soy un experto aquí, lo intentaré.

1) Dado que es DAG, debe tener un vértice de sumidero, es decir, un vértice con un grado inferior 0. Busque un vértice de sumidero que diga x y agregue {x} como vértice accesible al vecino (x). elimine xy repita el proceso hasta que el gráfico quede vacío

— Prabu
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Dado que el grado externo está limitado, ¿parece ser más útil comenzar con una fuente?

— András Salamon

@ andras-salamon: no, porque no sabes trivialmente cuántos nodos son accesibles desde una fuente. Sin embargo, no haces eso (cero) para un sumidero.

— Martin B.

O (| V | \cdot | E |)

$O(|V| \cdot |E|)$

x

$x$

O (| V |)

$O(|V|)$

O (| V |)

$O(|V|)$

O (| V |)

$O(|V|)$

O (| V | \cdot | E |)

$O(|V| \cdot |E|)$

-2

(Similar a la solución de Prabu ... pero más detallada)

$N(v)$ $v$ $reach(v)$

$O(|V|+|E|)$
$v$ $reach(v) = \sum_{n\in N(v)} reach(n)$

$|E|$ $O(|V|+|E|)$

— Martin B.
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