Reducción de profundidad para circuitos booleanos

Este resultado de Tavenas, Koiran y otros muestran que cualquier polinomio calculado por un circuito de tamaño $s$ se calcula por un circuito homogéneo de profundidad 4 de tamaño $s^{\sqrt{d}}$ .

¿Hay resultados similares para los circuitos booleanos o sabemos por qué tal cosa no es posible?

cc.complexity-theory circuit-complexity arithmetic-circuits

— Estudiante de matemáticas
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Si recuerdo correctamente, ese resultado no es posible en el mundo booleano. Tengo problemas para recordar el resultado específico, creo que tal vez esto es arxiv.org/abs/1504.03398 puntos hacia esta dirección. Puedo actualizar esto a una respuesta si encuentro la referencia real que recuerdo vagamente.

— chazisop

Desafortunadamente, las reducciones de profundidad más conocidas para circuitos booleanos solo funcionan para clases de circuitos muy restringidas. Valiant ( Valiant ; Viola ) demostró que un circuito de tamaño $O(n)$ y profundidad $O(\log{n})$ puede calcularse mediante un circuito de profundidad 3 de tamaño $2^{O(n/\log\log{n})}$ . Además, Valiant mostró una reducción de profundidad similar para circuitos en serie-paralelo de tamaño lineal (una subclase natural de circuitos), ver Calabro .

Tenga en cuenta que el número de puertas en un circuito de profundidad 3 que calcula una función aleatoria es $\Theta(2^{n/2})$ ( Dančík ; Sergeev ), mientras que el mejor límite inferior que podemos probar es solo $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ (Håstad;Håstad, Jukna, Pudlák;Paturi, Pudlák, Zane;Boppana;Paturi, Pudlák, Saks, Zane;Meir, Wigderson).

— Alex Golovnev
fuente

Vale la pena incluirlo como comentario: también hay resultados de reducción de profundidad para

(otra clase muy restringida). Profundidad-

circuitos con AND, OR, NOT o MOD m se puede convertir en profundidad-

circuitos de la forma SYM-Y de manera que el tamaño es

y la puerta inferior fan-in is

(a través de Yao, Beigel-Tarui, Chen-Papakonstantinou)

{A C C}^{0}

$\mathsf{ACC}^0$

d

$d$

2

$2$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

p o l y l o g (n)

$polylog(n)$

— Sam McGuire