P y complejidad descriptiva

En Complexity Zoo, dice [ 1 ] que, en complejidad descriptiva, $P$ puede definirse mediante tres tipos diferentes de fórmulas, $FO(LFP)$ que también es $FO(n^{O(1)})$ , y también como $SO(HORN)$ .

Sin embargo, hay algunas excepciones, por ejemplo, $Evenness$ no puede expresarse por FP (FP tiene el mismo poder expresivo con LFP). $Connectivity$ y $2-colourability$ no son definibles por la lógica de primer orden. Algunos problemas ni siquiera se pueden axiomatizar con un número finito de variables como $Evenness$ ,$Perfect~Matching$ ,$Hamiltonicity$ .

Immerman propuso que la lógica de punto fijo + conteo (FPC) puede ser una lógica posible para capturar P.

Sin embargo, Cai Furer, Immerman demostró que hay propiedades de gráficos de tiempo polinómico que no son expresables en FPC [ 2 ]. El problema de resolver ecuaciones lineales sobre el campo de dos elementos no se puede definir en lógica infinitaria con conteo [ 3 ]. Puede consultar [ 4 ] para obtener más detalles.

Entonces, ¿qué estructura lógica puede capturar P en general? La respuesta positiva es que una clase de estructuras finitas ordenadas es definible en la lógica de punto mínimo si, y solo si, es decidible en P por Immerman [ 5 ] y Vardi [ 6 ]. ¿Qué tal en el caso desordenado? ¿Puedes mostrar más contraejemplos de la declaración en el zoológico de complejidad?

Martin Grohe hizo progresos sustanciales en esta cuestión recientemente. Da una lógica que captura el tiempo polinómico en clases de gráficos incrustables en una superficie fija: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 Editar: el caso general parece no estar resuelto (pero de ninguna manera estoy resuelto) Un experto en esto).