Estrategia ganadora en el juego de trillizos

El juego de trillizos se define por un conjunto finito de elementos $X$ y una $T$ multisistema finita que contiene tripletes de elementos. Dos jugadores se turnan para elegir elementos de $X$ hasta que se toman todos los elementos. Luego, la puntuación de cada jugador es el número de trillizos de $T$ en los que tiene al menos 2 elementos.

Un argumento estándar de robo de estrategia muestra que el primer jugador siempre puede anotar al menos $|T|/2$ . Supongamos por contradicción que es falso. Entonces el segundo jugador puede anotar más de $|T|/2$ . Pero entonces el primer jugador, copiando la estrategia ganadora del segundo jugador, puede anotar más de $|T|/2$ también. Esto es una contradicción ya que la suma de los puntajes es $|T|$.

PREGUNTA: ¿cuál es una estrategia explícita para que el primer jugador obtenga una puntuación de al menos $|T|/2$ ?

EDITAR: Aquí hay una estrategia explícita para que el primer jugador obtenga al menos $3|T|/8$ . A cada triplete en $T$ , asigne un potencial $P(a,b)$ basado en el número de sus elementos tomados por el (primer, segundo) jugador:

La estrategia del jugador 1 es: elegir un elemento que maximice la suma potencial. Suponga que ese elemento es $x$ el elemento elegido a continuación por el jugador 2 es $y$ . Afirmo que la suma potencial después de estos dos movimientos aumenta débilmente:

• El potencial de un triplete que no contiene ni $x$ ni $y$ no cambia.
• El potencial de un triplete que contiene tanto $x$ y $y$ cambios de $P(a,b)$ a $P(a+1,b+1)$ , que es siempre al menos tan grande.
• El potencial de un triplete que contiene $x$ y no $y$ aumenta en $P(a+1,b)-P(a,b)$ ;
• El potencial de un triplete que contiene $y$ y no $x$ disminuye en $P(a,b)-P(a,b+1)$ ; es fácil verificar en la tabla que $P(a,b)-P(a,b+1)\leq P(a+1,b)-P(a,b)$ (la disminución al ir hacia la derecha es como máximo el aumento al bajar).

Con todo, la suma potencial aumenta en la suma de $P(a+1,b)-P(a,b)$ sobre todos los tripletes que contienen $x$ , y disminuye en (como máximo) la suma de $P(a+1,b)-P(a,b)$ sobre todos los tripletes que contienen $y$ . Al elegir $x$ , la primera suma es débilmente mayor. Entonces, la suma potencial aumenta débilmente.

Entonces la suma potencial final es al menos $3|T|/8$ . Al final, un triplete tiene potencial $1$ ( $0$ ) si es ganado por el jugador 1 (2), por lo que la suma potencial final es igual al puntaje del jugador 1.

Esta no es una prueba completa, pero aquí hay una justificación de por qué las conjeturas conocidas implican que el juego puede ser computacionalmente difícil de resolver. A saber, voy a argumentar que encontrar el primer movimiento correcto ya es probablemente complicado.

Como primer paso, sostenemos que el juego de los trillizos es más difícil (en el sentido apropiado) que el juego $\textrm{Denser Induced Subgraph}$ definido de la siguiente manera.

Dos jugadores, A y B, alternan vértices de selección en un gráfico común G. Los vértices solo se pueden seleccionar una vez. Cuando no quedan más vértices por elegir, se comparan las subgrafías inducidas por las elecciones de cada jugador. El jugador con el mayor número de aristas inducidas se declara ganador.

Esquema de prueba:

$\textrm{Denser Induced Subgraph}$$G = (V,E)$$\textrm{Triplets}$$G$$V \cup (E \times \{0,1\})$$e \in E$$u$$v$$(u, v, (e, 0))$$(u, v, (e, 1))$$v \in V$$(v,v,v)$

$\mathrm{Triplets}$$V$$E$$E \times \{0,1\}$$1$$1$$V$$4$

$|V|$$V$

$V_A$$V_B$$(v,v,v)$$4|V|/2 + 2|E[V_A]| + (|E| - |E[V_A]| - |E[V_B]|)$$E[S]$$S$$\square$

Con esto en mente, podemos recurrir a algunos de los trabajos en la literatura de detección de subgrafías densas. Hay un montón de trabajo relevante sobre esto al que se puede recurrir, pero por simplicidad de análisis recurriré a una conjetura particular sobre la dificultad de encontrar gráficos aleatorios densos en gráficos aleatorios dispersos (creo que esta dependencia se puede eliminar con solo un poco más de reflexión, pero esto no pretende ser una prueba formal).

$G = (V,E)$$G(n, 1/\sqrt{n})$$1/2$$G$$V'$$V$$\sqrt{n}$$u,v$$V'$$(u,v)$$E$$n^{-1/4}$$G$

$51\%$

Suponga que el gráfico fue aumentado y que hay un componente inusualmente denso. Dado que ningún algoritmo de poli-tiempo puede detectar de manera confiable la presencia de este subgrafo denso, tampoco puede muestrear confiablemente un vértice de este componente denso (por ejemplo, debido a la auto-reducibilidad). Por lo tanto, dado que (desde la perspectiva del Jugador A) está seleccionando un vértice aleatorio de un gráfico puro de Erdos-Renyi, no importa mucho qué vértice A elija (hasta un pequeño cambio en su puntaje que terminará sin importar ¹$r$$r-1$$r$

$r$$r$$\Omega(n^{1/4})$

^$O(1)$

Por lo tanto, a pesar de que el juego se resuelve muy débilmente para el jugador A, es poco probable que A sea computacionalmente factible que A juegue incluso el primer movimiento de la estrategia ganadora.

Aquí tampoco debería ser difícil lograr un enfoque basado en la dureza del problema de subgrafo más denso "normal", y componer la reducción con un resultado de dureza de aproximación probablemente se pueda usar para obtener algún tipo de dureza basada en conjeturas más convencionales ( por ejemplo, ETH). No estoy seguro de cuál puede ser la dificultad de subir a la dureza NP (o más allá).