¿Cuál es la complejidad de este juego?

Esta es una generalización de mi pregunta anterior .

Deje que $M$ sea una máquina determinista en tiempo polinómico que pueden hacer preguntas a algún oráculo $A$ . Inicialmente, $A$ está vacío, pero esto se puede cambiar después de un juego que se describirá a continuación. Deje $x$ ser una cadena.

Considere el siguiente juego de Alice y Bob. Inicialmente, Alice y Bob tienen $m_A$ y $m_B$ dólares respectivamente. Alice quiere $M^A(x)=1$ y Bob quiere $M^A(x)=0$ .

En cada paso del juego, un jugador puede agregar un poco de cuerda $y$ a $A$ ; esto cuesta $f(y)$ dólar, donde $f: \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$ es una función computable de tiempo polinomial. También un jugador puede perder su paso.

La jugada finaliza si ambos jugadores gastan todo el dinero o si algún jugador perdió el paso cuando estaba en una posición perdedora (eso se define por el valor actual de $M^A(x)$ ).

Pregunta: ¿el problema de definir al ganador de este juego para $M, f, x, m_A, m_B$ es un

EXPSPACE -tarea completa?

Tenga en cuenta que $M$ puede pedir (por pertenecer a $A$ ) sólo cadenas de longitud polinómica lo que no hay sentido para Alice o Bob para añadir cadenas más largas a $A$ . Por lo tanto, este problema está en EXPSPACE .

$A$ $f \equiv 1$ $m_A = m_B$

cc.complexity-theory complexity-classes gt.game-theory

— Alexey Milovanov
fuente

¿Puedes explicar por qué hiciste este cambio al problema? Alice puede verificar si puede pagar todas las cadenas en

(como se define en la respuesta de Lance a su otro problema) en tiempo polinómico. ¿Cómo esto no resuelve inmediatamente el problema?

S

$S$

— Stella Biderman

@StellaBiderman Alice de hecho puede verificar esto en tiempo polinómico. Sin embargo, si no tiene suficiente dinero, esto no significa que solo pueda realizar pasos polinómicos (como en el juego anterior).

— Alexey Milovanov

Si no puede pagar

, ¿puede vencer a un oponente que siempre se salta su turno? Quizás haya algo sobre la configuración del juego que no entiendo.

S

$S$

— Stella Biderman

x_{1} \in A

$x_1\in A$

M

$M$

S = {x_{1}}

$S=\{x_1\}$

x_{1} \notin A

$x_1\notin A$

M

$M$

x_{2}

$x_2$

x_{2} \in A

$x_2\in A$

x_{2}

$x_2$

Esto debería ser EXPSPACE-complete. Dibujaré cómo lograr un número exponencial de alternancias, sin reducir ningún problema de EXPSPACE-complete a este, pero desde aquí debería ser simple terminar.

$t$ $A_t$ $A_0=\emptyset$ $M^{A_t}$ $Q_t$ $A_t$ $Q_t$ $A$ $Q_t$

$M$ $2n$ $2i$ $2i+1$ $i$ $f$ $2^{-i}$ $i$ $A$ $n$

$m_A$ $m_B$ $n$ $M^{A_0}$ $A$ $n-1$ $M^{A_1}$ $A$ $M^{A_2}$ $n$ $A$ $n$ $A$

$n$ $A$ $k<n$ $Q_0$ en el primer paso), si el otro jugador (en nuestro ejemplo Bob) solo juega la palabra más larga que puede en el árbol binario, le quedará algo de dinero al final y nosotros haremos el juego para que pueda usar esto ganar. (Tenga en cuenta que a Alice también le puede quedar algo de dinero, pero Bob tendrá más, así que diseñamos el juego final para que si uno de ellos tiene más dinero, ese jugador pueda ganar).

$A$

— domotorp
fuente

Gracias por su respuesta. Te hice algunas preguntas por correo electrónico.

— Alexey Milovanov