¿Existen procedimientos de semi-decisión para esta teoría?

Tengo la siguiente teoría escrita

|- 1_X : X -> X
f : A -> B, g : B -> C |- compose(g,f) : A -> C
F, f : A -> B |- apply(F,f) : F(A) -> F(B)

con ecuaciones para todos los términos:

f : A -> B, g : B -> C, h : C -> D |- compose(h,compose(f,g)) = compose(compose(h,f),g)
f : A -> B |- compose(f,1_A) = f
f : A -> B |- compose(1_B,f) = f
F |- apply(F,1_X) = 1_F(X)
f, f : A -> B, g : B -> C |- apply(F,compose(g,f)) = compose(apply(F,g),apply(F,f))

Estoy buscando un procedimiento de semi-decisión que pueda probar ecuaciones en esta teoría dado un conjunto de ecuaciones hipotéticas. Tampoco está claro si existe un procedimiento de decisión completo o no: no parece haber ninguna forma de codificar el problema verbal para los grupos en él. Neel Krishnaswami mostró cómo codificar el problema verbal en esto, por lo que el problema general es indecidible. La subteoría de la asociatividad y la identidad se puede decidir fácilmente utilizando un modelo monoide de la teoría, mientras que el problema completo es más difícil que el cierre de la congruencia. ¡Cualquier referencia o puntero sería bienvenido!

Aquí hay un ejemplo explícito de algo que esperamos poder probar automáticamente:

f : X -> Y, F, G,
a : F(X) -> G(X), b : G(X) -> F(X),
c : F(Y) -> G(Y), d : G(Y) -> F(Y),
compose(a,b) = 1_F(X), compose(b,a) = 1_G(X),
compose(c,d) = 1_F(Y), compose(d,c) = 1_G(Y),
compose(c,apply(F,f)) = compose(apply(G,f),a)
|- compose(d,apply(G,f)) = compose(apply(F,f),b)

Me parece que puede codificar el problema de palabras para grupos dentro de la teoría de categorías de la siguiente manera. Elija un objeto , y luego para cada generador del grupo introduzca dos morfismos , y asuma las igualdades y . Luego, puede definir la unidad para que sea el mapa de identidad, la composición para que sea la multiplicación grupal y la negación de una cadena para que sea la cadena cebada inversa . Por lo tanto, este problema es indecidible.x , x ′ : X → X x ∘ x ′ = 1 X x ′ ∘ x = 1 X x ∘ y ∘ z z ′ ∘ y ′ ∘ x $X$$x,x' : X \to X$$x \circ x' = 1_X$$x' \circ x = 1_X$$x\circ y\circ z$$z' \circ y' \circ x'$

Sin embargo, el problema de la palabra se puede resolver para muchos grupos específicos, por lo que si tiene más detalles sobre el problema, esto puede ayudar. En particular, una idea de la teoría de grupos que podría ayudarlo mucho es que las presentaciones absolutas de grupos finitamente generados pueden resolverse: las inecuaciones pueden reducir el espacio de búsqueda lo suficiente como para que la teoría sea decidible.

EDITAR: Un pensamiento adicional que tuve es que agregar irrelaciones podría ser una herramienta útil para usted, incluso si los modelos concretos que le interesan validan las ecuaciones. Esto se debe a que en situaciones categóricas a menudo solo quieres ecuaciones "agradables", por algún valor de agradable, y puedes usar las inecuaciones para descartar soluciones que son demasiado malas para ti. Su procedimiento de decisión aún puede estar incompleto, pero puede obtener una caracterización más natural de las soluciones que puede encontrar que "buscamos posibles árboles de prueba a una profundidad de 7".

Buena suerte; ¡esa cosa de functor que estás haciendo se ve genial!

Una referencia: Pruebas de automatización en teoría de categorías de Dexter Kozen, Christoph Kreitz y Eva Richter.