Acerca de los métodos de Pfaffian en conteo y combinatoria

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Recientemente, estaba revisando una introducción a los algoritmos holográficos. Encontré algunos objetos combinatorios llamados Pfaffians. No sé mucho sobre eso en este momento y encontré algunos usos sorprendentes a los que se les puede dar.

Por ejemplo, llegué a saber que se pueden usar para contar eficientemente la cantidad de coincidencias perfectas en gráficos planos. Además, se pueden usar para contar el número de posibles inclinaciones de un tablero de ajedrez usando fichas de 2 * 1. La conexión en mosaico me pareció muy curiosa y traté de buscar materiales más relevantes en la web, pero en la mayoría de los lugares simplemente encontré una o dos afirmaciones sobre la conexión y nada más.

Solo quería preguntar si alguien podría sugerir alguna referencia a la literatura relevante, ya que eso sería realmente genial y espero estudiar algunos materiales relacionados.

reference-request co.combinatorics counting-complexity

— Akash Kumar
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Esto se conoce como el "problema del dímero". Puede encontrar una descripción general en la sección 7.14 de "Modelos resueltos exactamente" de Baxter y también en math.brown.edu/~rkenyon/papers/de2.pdf El número de dímeros se puede expresar como la función de partición del modelo Ising, un ejemplo resuelto de la función de partición Ising a través de Pfaffian se da en cs.cmu.edu/~jch1/research/presentation/globersonjaakkola.ppt

— Yaroslav Bulatov el

gracias por el comentario yaroslav. el ejemplo de cmu parece útil

— Akash Kumar el

Puede que le interese la breve historia de pfaffians de combinatorics.org/Volume_3/PDF/v3i2r5.pdf

— Radu GRIGore

Gracias por el comentario Radu. Encontré otra encuesta de Robin Thomas. Puede encontrarlo aquí people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf

— Akash Kumar

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(Esta es una pregunta interesante para mí porque también estoy leyendo sobre el Pfaffian).

Sugiero las siguientes referencias:

Capítulo 8 del impresionante libro Matching Theory de Lovasz y Plummer.
El documento Algoritmos libres de división para el determinante y el Pfa ﬃ an: enfoques algebraicos y combinatorios de Rote. Este artículo relaciona el Pfaffian con el objeto combinatorio llamado secuencia de caminata cerrada alterna (también conocida como secuencia de payaso alterna), que nos da un algoritmo dinámico (sin división) para calcular el Pfaffian.
El documento Rutas de no intersección, pfa ﬃ ans y particiones planas de Stembridge, que muestra cómo usar el Pfaffian para enumerar configuraciones en combinatoria. El documento también proporciona pruebas combinatorias de identidades básicas, por ejemplo,

$A$ $\mathsf{pf}(A)^2 = \mathsf{det}(A)$ .

— Dai Le
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De verdad, muchas gracias Dai. Esas son muy buenas referencias. Los revisaré muy pronto. Gracias de nuevo. Y sí, ¡disfruta esta Navidad y que tengas un feliz año nuevo!

— Akash Kumar

@arnab y @Akash ¡Me alegra que mi sugerencia ayude! ¡Feliz Navidad y feliz año nuevo para ustedes dos!

— Dai Le

@Dai, esto se ve muy interesante. ¿Cuál de estas tres referencias menciona el algoritmo de Berkowitz (versión Pfaffian)?

— Michael Soltys

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Puedes encontrar este artículo sobre los circuitos de Pfaffian y las referencias allí interesantes; He querido que sea una introducción autónoma a los algoritmos holográficos, así como explorar lo que se puede hacer con Pfaffians.

— Jason Morton
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¡Eso es genial! Gracias y feliz año nuevo!

— Dai Le

Whoo ... eso es genial! Totalmente en sintonía con lo que quería. Muchas muchas gracias (y sí, un feliz año nuevo)

— Akash Kumar

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Esto realmente debería haber sido un comentario, pero por la falta de espacio, estoy publicando esto como respuesta.

Gracias por las respuestas y comentarios a todos. Recientemente, me encontré con otra encuesta realizada por Robin Thomas. Puede encontrarlo aquí http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/pfafsurv.pdf .

Aparte de esto, también agregaría una declaración sobre la conexión de mosaico (que me señaló la profesora Dana Randall). Si toma la retícula dual, las fichas de dominó 2x1 son solo bordes. Por lo tanto, un mosaico perfecto es precisamente una combinación perfecta en el dual. Entonces, la teoría de Pfaffians se puede usar para contar emparejamientos perfectos en gráficos planos.

Esto significa que puede centrarse principalmente en contar las coincidencias perfectas en el gráfico; el resto solo sigue trivialmente.

— Akash Kumar
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También hay trabajos realizados por Charles Little, Fischer, McCuaig, Robertson, Seymour y Thomas, Loebl, Galluccio, Tesler, Miranda, Lucchesi, de Carvalho y Murty (los que me vienen a la mente en este momento).