Para cualquiera de los dos gráficos no isomórficos

Quiero ser muy específico ¿Alguien sabe de una prueba o prueba de la siguiente propuesta:

$\exists p \in \mathbb{Z}[x], n, k, C \in \mathbb{N},$

$\forall G, H \in STRUC[\Sigma_{graph}] (min(|G|, |H|) = n, G \not\simeq H),$

$\exists \varphi \in \mathcal{L}(\Sigma_{graph}),$

$|\varphi| \leq p(n) \wedge qd(\varphi) \leq Clog(n)^k \wedge G \vDash \varphi \wedge H \nvDash \varphi.$

Intuitivamente, esto debería ser cierto si todos los gráficos no isomórficos se pueden distinguir usando las declaraciones " local", y me imagino que esto es falso. Por supuesto, cualquier gráfico se puede distinguir usando la profundidad del cuantificador polinómico, ya que simplemente puede especificar el isomorfismo de su módulo de gráfico: $Clog(n)^k$

$\varphi = \exists x_1 \exists x_2 \exists x_3 ... \exists x_n (\forall x (\bigvee_{i \in V_G} x = x_i) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in E_G} E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \notin E_G} \neg E(x_i, x_j))) \wedge (\bigwedge_{(i, j) \in V_G^2 \mid i \neq j}x_i \neq x_j).$

Editar: Entonces parece que la intuición de la localidad que tenía es falsa. Una fórmula de cuantificador de profundidad tiene la localidad de Gaifman limitada por , lo que significa que una fórmula de profundidad logarítmica es básicamente global. Por esta razón, tengo el presentimiento de que la propuesta resultará cierta, lo que sería mucho más difícil de probar en mi opinión. $k$ $O(3^k)$

— Samuel Schlesinger
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¿Qué pasa con el camino y dos caminos desconectados cada uno de longitud

\frac{n}{2}

$\frac{n}{2}$

— Samuel Schlesinger

La ruta solo tiene dos nodos de grado , dos rutas tienen cuatro. Es decir, se pueden distinguir por una fórmula de tamaño constante. Puede tener mejor suerte con un círculo frente a dos círculos, pero creo que se pueden distinguir por una fórmula de cuantificador de rango .

1

$1$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Emil Jeřábek

Los árboles altos pueden funcionar para una refutación, si difieren cerca de las hojas.

— András Salamon

@ EmilJeřábek ¿es eso cierto sin igualdad?

— Samuel Schlesinger

@StellaBiderman La verdad de las fórmulas sin igualdad es preservada por los homomorfismos reflectantes (es decir, preservando las relaciones en ambos sentidos). En el caso de los gráficos, por ejemplo, dos gráficos sin bordes satisfacen las mismas oraciones. En términos más generales, uno puede tomar cualquier gráfico y hacer explotar cualquier vértice en un conjunto independiente.

— Emil Jeřábek

Gracias a mi colega Maxim Zhukovskii por sugerir esta respuesta.

Resulta que la respuesta es negativa y el contraejemplo es bastante simple. Simplemente tome y para y y para . (Aquí es una -clique y es un conjunto de vértices aislados). Al considerar el juego Ehrenfeucht, se puede demostrar que en el primer caso la profundidad mínima posible es en el segundo caso es . $G=K_m\sqcup \overline{K_m}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_{m-1}}$ $n=2m$ $G=K_m\sqcup \overline{K_{m+1}}$ $H=K_{m+1}\sqcup \overline{K_m}$ $n=2m+1$ $K_s$ $s$ $\overline{K_s}$ $s$ $m$ $m+1$

Se ha demostrado en el documento "El primero definibilidad orden de gráficos: Upper límites para la profundidad cuantificador" por Oleg Pikhurko, Helmut Veith y Oleg Verbitsky que este límite es casi apretada y cualesquiera dos -vertex gráficos son distinguibles por una fórmula de profundidad . $n$ $\frac{n+3}{2}$

— Daniil Musatov
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