Complejidad de comunicación ... ¿Clases?

Discusión :

Últimamente he pasado algo de tiempo personal aprendiendo varias cosas en la complejidad de la comunicación. Por ejemplo, me he re-familiarizado con el capítulo relevante en Arora / Barak, comencé a leer algunos documentos y ordené el libro a Kushilevitz / Nisan. Intuitivamente, quiero contrastar la complejidad de la comunicación con la complejidad computacional. Y en particular, me llama la atención el hecho de que la complejidad computacional se ha convertido en una rica teoría de ubicar los problemas computacionales en clases de complejidad, algunas de las cuales pueden ser vistas ( desde una perspectiva, al menos ) en términos de problemas completos para cada clase dada Por ejemplo, al explicar $NP$ para alguien por primera vez, es difícil evitar comparaciones con SAT o algún otro problema de NP completo.

En comparación, nunca he escuchado nada de un concepto análogo para las clases de complejidad de comunicación. Hay muchos ejemplos que conozco, de problemas "completos para un teorema". Por ejemplo, como un marco general, los autores pueden describir un problema de comunicación dado y luego probar que un teorema relacionado T sostiene i f f el problema de comunicación puede ser resuelto en X o menos bits (para algunos X que depende de la teorema específica / par problemático en cuestión). La terminología utilizada a continuación, en la literatura es que P es "completo" para T .$P$$T$$iff$$X$$X$$P$$T$

Además, hay una línea tentadora en el borrador del capítulo de complejidad de comunicación de Arora / Barak (que parece haber sido eliminado / ajustado en la impresión final) que dice "En general, uno puede considerar protocolos de comunicación análogos a , c o N P , P H etc. " Sin embargo, noto dos omisiones importantes:$NP$$coNP$$PH$

1. El concepto "análogo" parece ser una manera de calcular la complejidad de la comunicación para resolver un protocolo dado con acceso a diferentes tipos de recursos, pero no llega a definir las clases de complejidad de comunicación adecuadas ...
2. La mayor parte de la complejidad de la comunicación parece ser relativamente de "bajo nivel", en el sentido de que la abrumadora mayoría de los resultados / teoremas / etc. giran en torno a valores pequeños, específicos, de tamaño polinómico. Esto plantea un poco la pregunta de por qué, por ejemplo, es interesante para el cálculo, pero el concepto análogo parece ser menos interesante para la comunicación. (Por supuesto, podría tener la culpa de no ser consciente de los conceptos de complejidad de comunicación de "nivel superior") $NEXP$

Pregunta (s) :

¿Existe un concepto análogo a las clases de complejidad computacional para la complejidad de la comunicación?

Y:

Si es así, ¿cómo se compara con la noción "estándar" de clases de complejidad? (p. ej., ¿existen limitaciones naturales para las "clases de complejidad de comunicación" que hacen que sean inherentemente inferiores al rango completo de las clases de complejidad computacional?) para la complejidad de la comunicación?

Parece que está buscando este documento: http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1382439.1382962

Babai, Frankl, Simon introdujeron clases de complejidad en la complejidad de la comunicación en el documento citado por Noam. El documento también desarrolla la idea de integridad bajo reducciones adecuadas. Si, por ejemplo, describe las clases NP y co-NP, tiene mucho sentido describir también el problema de disyunción (co-NP completo).

En cuanto a su segunda pregunta, si P es (en la complejidad de la comunicación) la clase de problemas que se pueden resolver con la comunicación polylog (n) de manera determinista, entonces la clase EXP debería ser el conjunto de problemas que se pueden resolver con la comunicación poly (n), que simplemente lo es todo. Entonces parece que tales clases no son interesantes.

Sin embargo, hay otra forma de obtener clases más grandes. El PSPACE ya está definido (por Babai et al.) No en términos de alguna noción de espacio, sino en términos de alternancia. Las pruebas interactivas son otra forma de obtener clases de gran complejidad. Por lo tanto, puede definir la clase MIP como el conjunto de problemas que se pueden resolver en un juego de comunicación con dos probadores (que no pueden hablar entre sí) y dos verificadores (que pueden hablar entre sí y con los probadores).

En el mundo de las máquinas de Turing, MIP = NEXP, pero ¿qué pasa con la complejidad de la comunicación (donde NEXP no parece tener sentido)? En primer lugar, MIP no es solo el conjunto de todos los problemas debido a un simple argumento de conteo.

Andrew Drucker (en su tesis de maestría) ha mostrado algo interesante sobre esta clase. Considera los PCP en la complejidad de la comunicación, que (por técnicas estándar) son equivalentes a los protocolos MIP (su resultado es un poco más fuerte de lo que digo aquí).

Lo que muestra es que para cada problema en NP (la clase de máquina de Turing) y cualquier forma de dividir las entradas, el problema de comunicación resultante tiene un protocolo MIP con polylog de comunicación (n) (es decir, el problema está en la (complejidad de la comunicación) clase MIP).

Entonces, si bien MIP no lo es todo, encontrar un problema explícito que no esté en MIP debería ser difícil (no porque no podamos encontrar problemas que no están en NP, sino porque no es fácil imaginar cómo puede entrar en juego la complejidad de la máquina de Turing) )

Que mostrar límites más bajos para MIP es difícil quizás no sea demasiado sorprendente, porque ni siquiera sabemos cómo probar límites más bajos para los protocolos AM.

Una sección de Complexity Zoo enumera las clases de Complejidad de comunicación más importantes.

La razón fundamental por la que existen tales limitaciones en la complejidad de la comunicación es que solo existe una cantidad lineal de información total que necesita ser comunicada (las entradas). Aunque Hartmut Klauck ya lo señaló esencialmente en su respuesta, quería resaltar una respuesta a la otra OQ con respecto a la razón subyacente de esta limitación fundamental, a saber, que los jugadores no tienen límites computacionales .

$d(n)$$O(d(n)\log n)$$d(n)=O(1)$, Creo que lo contrario también es esencialmente cierto, por lo que la complejidad de las consultas en PCP está estrechamente relacionada con este tema de la comunicación combinada / complejidad computacional.