variante de SAT crítico

El lenguaje Critical SAT se define como el conjunto de fórmulas booleanas tal que pero eliminar cualquier cláusula de hace satisfactorio. Se sabe que el SAT crítico es -completo. Me pregunto acerca de la siguiente variante: dada una fórmula , ¿es el caso que está en y que existe alguna cláusula tal que $CNF$ $f$ $f \in UNSAT$ $f$ $DP$ $CNF$ $f$ $f$ $UNSAT$ $c$ (en lugar de para todas las cláusulas, existe una cláusula). ¿Esta variante -completa también? $f \setminus c \in SAT$ $DP$

cc.complexity-theory complexity-classes boolean-functions

— Juan
fuente

Está claro que su idioma está en DP. Para demostrar que es DP-hard, le daremos una reducción de SAT-UNSAT a su idioma, lo que podemos llamar CRIT-UNSAT. Dado un par de CNF , que sean variables frescas, y que Aquí $(f,g)$ $x,y$

h = (F \lor \neg X) \land (sol \lor X) \land (sol \lor y) \land \neg X \land (X \lor \neg y) .

$h = (f \lor \lnot x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \lnot x \land (x \lor \lnot y).$

medios añaden

para todas las cláusulas de

f \lor \neg x

$f \lor \lnot x$

\neg x

$\lnot x$

f

$f$

Supongamos primero que es satisfactoria no es satisfactoria. Como no es satisfactoria, no es satisfactoria. Como es satisfactoria, es satisfactoria. Por lo tanto, está en CRIT-SAT. $f$ $g$ $g$ $h$ $f$ $h \setminus \lnot x$ $h$

Por el contrario, suponga que está en CRIT-SAT. Como es insatisfactorio, es insatisfactorio. Para alguna cláusula , es satisfactoria. Si entonces claramente sigue siendo insatisfactorio. Del mismo modo, si entonces sigue siendo insatisfactorio, debido a . Si o $h$ $h$ $g$ $c$ $h \setminus c$ $c \in f \lor \lnot x$ $h \setminus c$ $c \in g \lor x$ $h \setminus c$ $g \lor y$ $c \in g \lor y$ luego sigue siendo insatisfactorio, debido a . Entonces , lo que significa que es satisfactoria, es decir, es satisfactoria. $c = x \lor \lnot y$ $h \setminus c$ $g \lor x$ $c = \lnot x$ $h|_{x=1}$ $f$

— Yuval Filmus
fuente

Para evitar la duplicación, ¿no puede simplemente hacer la segunda instancia de

en nuevas variables?

g

$g$

— Joshua Grochow

¿Qué análisis de caso?

— Radu GRIGore

@RaduGRIGore Podemos probar

por ejemplo. Si

es una instancia de SAT-UNSAT, entonces

es insatisfactorio y se vuelve satisfactorio si eliminamos

. En la otra dirección, si

es insatisfactorio, entonces

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \neg x \land (x \lor \neg y)

$h = (f \lor \lnot x) \land (g \lor x) \land (g \lor y) \land \lnot x \land (x \lor \lnot y)$

(f, g)

$(f,g)$

h

$h$

\neg x

$\lnot x$

h

$h$

g

$g$ Es insatisfactorio. Tenemos que comprobar que ahora hay una manera de "hacer trampa", para que sea satisfactoria eliminando

, por ejemplo. De hecho, esto no ayudará. Pero tuvimos que verificar un caso más.

x \lor \neg y

$x \lor \lnot y$

— Yuval Filmus

Pensé que lo que Joshua dijo es

, donde

se ve como

pero con variables imprimados.

h = (f \lor \neg x) \land (g \lor x) \land (g^{'} \lor x) \land \neg x

$h=(f\lor \lnot x)\land(g \lor x)\land(g'\lor x)\land\lnot x$

g^{'}

$g'$

g

$g$

— Radu GRIGore

@RaduGRIGore Correcto, eso sería una prueba más simple.

— Yuval Filmus