Soluciones mínimas máximas de LP

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La programación lineal es, por supuesto, hoy en día muy bien entendida. Tenemos mucho trabajo que caracteriza la estructura de soluciones factibles y la estructura de soluciones óptimas. Tenemos la fuerte dualidad, algoritmos de poli-tiempo, etc.

Pero, ¿qué se sabe sobre las soluciones mínimas máximas de LP? O, de manera equivalente, ¿soluciones máximas mínimas?

(Esto no es realmente una pregunta de investigación, pero tal vez podamos tener algo menos técnico para las vacaciones. Solo tengo curiosidad, y después de buscar en Google tuve la sensación de que me faltaban las palabras clave correctas. Parece obvio problema para estudiar, pero solo encontré algunos documentos esporádicos que mencionan el problema).

Para simplificar las cosas, concentrémonos en empacar y cubrir los LP . En un LP embalaje se nos da una no negativo matriz . Un vector es factible si y . Decimos que es máximo si es factible y no podemos aumentar con avidez ningún componente. Es decir, si e , entonces no es factible. Y finalmente, es un $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ solución máxima mínima , si minimiza la función objetivo entre todas las soluciones máximas. $\sum_i x_i$

(Puede definir una solución mínima máxima de un LP de cobertura de manera análoga).

¿Cómo se ve el espacio de soluciones mínimas máximas? ¿Cómo podemos encontrar tales soluciones? ¿Qué tan difícil es encontrar tales soluciones? ¿Cómo podemos aproximar tales soluciones? ¿Quién estudia tales cosas y cuál es el término correcto para ello?

Estas preguntas fueron motivadas originalmente por conjuntos dominantes de borde y emparejamientos mínimos máximos . Es bien sabido (y bastante fácil de ver) que una coincidencia mínima máxima es un conjunto dominante de borde mínimo; por el contrario, dado un conjunto dominante de borde mínimo, es fácil construir una coincidencia máxima mínima.

Entonces son, en esencia, el mismo problema. Ambos problemas son NP-hard y APX-hard. Hay un algoritmo trivial de 2 aproximaciones: cualquier coincidencia máxima.

Sin embargo, sus relajaciones LP "naturales" se ven muy diferentes. Si tomas la ventaja que domina el problema establecido y formas una relajación LP natural, obtienes un LP de cobertura. Sin embargo, si toma el problema de encontrar una coincidencia máxima mínima e intenta encontrar una relajación LP, ¿qué obtiene? Bueno, por supuesto, los emparejamientos fraccionales son soluciones factibles de un empaque LP; entonces los emparejamientos fraccionales máximos son soluciones máximas de tales LP, y los emparejamientos fraccionarios mínimos máximos son, por lo tanto, soluciones mínimas máximas de tales LP. :)

— Jukka Suomela
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Su definición de máximo como "no podemos aumentar con avidez ningún componente" se parece mucho a Nash Equilibrium. ¿Hay una conexión oculta con la teoría de juegos aquí?

— Derrick Stolee

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

A x = 1

$Ax = 1$

¿Está familiarizado con los programas lineales de cuello de botella , en los que el aspecto minimax está en la función objetivo?

— Mike Spivey

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Máxima y mínima: son tipos de optimización de Pareto.
Complejidad: creo que encontrar una solución máxima mínima es NP-hard. Reduciría el problema de dominación de independencia (también conocido como el problema de conjunto independiente máximo mínimo) en gráficos bipartitos. Se sabe que este problema (más precisamente su versión de decisión) es NP-completo (DG Corneil e Y. Perl, Agrupación y dominación en gráficos perfectos. Matemática Aplicada Discreta 9 (1984) 27-39). Dado que un gráfico bipartito es perfecto, su conjunto de politopes independiente está determinado por las desigualdades de camarilla, y el número de camarillas en un gráfico bipartito es polinomial. Por lo tanto, podemos escribir explícitamente un sistema de desigualdades lineales Ax <= 1, x> = 0 para el politopo de conjunto independiente. Las soluciones extremas corresponden a los conjuntos independientes, y las soluciones máximas extremas corresponden a los conjuntos independientes máximos.

— Yoshio Okamoto
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$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

Lamentablemente, he tenido dificultades para encontrar una explicación transparente de estas cosas, pero de ninguna manera soy un experto en poliedros. Esperemos que lo encuentre relevante para el problema en cuestión.

— Andrew D. King
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