Cualquier número trascendental computable que sea computable en tiempo P pero no

¿Hay algún número trascendental computable conocido tal que su º dígito es computable en tiempo polinomial, pero no en ?$n$$O(n)$

Aquí está la construcción de tal número. Puede discutir si esto significa que tal número es "conocido".

Tome cualquier función de a donde el 'th dígitos no es computable en tiempo. Dicha función existe, por ejemplo, mediante la técnica de diagonalización habitual. Interpretar como el 'th dígito decimal de algún número real . Ahora, para cada de la forma , , cambie los dígitos de en las posiciones a 's. El número resultante conserva evidentemente la propiedad que el$f$$\mathbb{N}$$\{ 1, 2, \ldots, 8 \}$$n$$O(n)$$f(n)$$n$$\alpha$$n$$2^{2^k}$$k \geq 1$$\alpha$$n, n+1, \ldots, 3n$$0$$\beta$$n$ -ésimo dígito no es computable en tiempo, pero tiene una infinidad de muy buenas aproximaciones de números racionales, por ejemplo a fin , de la forma . Entonces, según el teorema de Roth, no puede ser algebraico. (No es racional porque tiene bloques arbitrariamente largos de activados por nonzeros en ambos lados).$O(n)$$O(q^{-3})$$p/q$$\beta$$0$

Más generalmente, para cualquier constante , hay números trascendentales computables en el tiempo polinómico, pero no en el tiempo O ( n k ) .$k\ge1$$O(n^k)$

Primero, según el teorema de la jerarquía de tiempo, existe un lenguaje no computable en el tiempo O ( 2 k n ) . Podemos suponer que L ⊆ { 0 , 1 } ∗ , y también podemos suponer que todas las cadenas w ∈ L tienen una longitud divisible por 3 .$L_0\in\mathrm E$$O(2^{kn})$$L\subseteq\{0,1\}^*$$w\in L$$3$

Segundo, que sea ​​la versión unaria de L 0 . Para mayor claridad, para cualquier w ∈ { 0 , 1 } ∗ , deje N ( w ) denotar el número entero cuya representación binaria es 1 w , y ponga L 1 = { a N ( w ) : w ∈ L 0 } . Entonces L 1 ∈ P , pero L 1 no es computable en el tiempo $L_1$$L_0$$w\in\{0,1\}^*$$N(w)$$1w$$L_1=\{a^{N(w)}:w\in L_0\}$$L_1\in\mathrm P$$L_1$ . Además, L 1 tiene la siguiente propiedad: para cualquier m , L 1 no contiene ninguna a n tal que 2 3 m + 1 ≤ n < 2 3 m + 3 .$O(n^k)$$L_1$$m$$L_1$$a^n$$2^{3m+1}\le n<2^{3m+3}$

Tercero, dejemos que (Asumo aquí que la pregunta es sobre calcular números en binario. Si no, el 2 anterior se puede reemplazar con cualquier base deseada, no importa).

$$\alpha=\sum\{2^{-n}:a^n\in L_1\}.$$ $2$

Entonces es computable en tiempo polinómico, ya que podemos calcular sus primeros n bits comprobando si a , a 2 , ... , a n están en L 1 . Por la misma razón, no es computable en tiempo O ( n k ) , como el n bit-ésimo determina si un n ∈ L 1 .$\alpha$$n$$a,a^2,\dots,a^n$$L_1$$O(n^k)$$n$$a^n\in L_1$

Para cualquier , supongamos que p = ∑ { 2 2 3 m + 1 - n : n ∈ L 1 , n < 2 3 m + 1 } = ⌊ α 2 2 3 m + 1 ⌋ , y q = 2 2 3 m + 1 . Entonces | α - $m$

$$p=\sum\{2^{2^{3m+1}-n}:n\in L_1,n<2^{3m+1}\}=\lfloor\alpha2^{2^{3m+1}}\rfloor,$$ $q=2^{2^{3m+1}}$ Por lo tanto,αtiene una medida de irracionalidad de al menos4, por lo tanto, es trascendental segúnel teorema de Roth. $$\left|\alpha-\frac pq\right|\le2^{-2^{3m+3}}=q^{-4}.$$ $\alpha$$4$