Distribuir una relación binaria en contenedores de modo que cada elemento esté en un pequeño número de contenedores

Se nos dan pares de objetos (digamos, números). Cada objeto aparece como máximo en $q$ pares. Nuestro objetivo es distribuir los pares en contenedores de igual tamaño, de modo que cada objeto ocurra en el menor número posible de contenedores diferentes.

Más precisamente, estamos interesados en una función $f$ con la propiedad de que para cada relación binaria con $m$ pares con como máximo $q$ pares por objeto, hay una distribución de los pares a $p$ bins, de modo que cada bin recibe $m/p$ pares ( $p$ debería dividir $m$ ), y ningún objeto ocurre en más de $f(m,q,p)$ bins

Esta pregunta surgió en nuestra investigación sobre la evaluación de consultas paralelas. Uno esperaría que $m$ sea grande en comparación con $p$ . El tamaño "correcto" de $q$ es menos claro. Un tamaño interesante para $q$ podría ser, por ejemplo, $\sqrt{\frac{m}{p}}$ . Una función que no depende de $q$ , pero que solo funciona para un cierto rango de $q$ también sería útil (pero no $q=O(1)$ ).

En realidad, estamos tras los límites de la forma $p^{1-\epsilon}$ , con $\epsilon>0$ más grande posible ...

combinatorics

— Thomas S
fuente

En terminología gráfica: dado un número entero

y un gráfico

con

aristas, con cada vértice teniendo un grado como máximo

, encuentre los subgrafos

donde

, de modo que

, y

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$

m

$m$

p

$p$

q

$q$

Así es. En términos de gráficos. La respuesta a la pregunta es: . De hecho, como se escribió anteriormente, estamos interesados en los límites de la forma y no tenemos ningún límite para .

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— Thomas S

Un caso especial para comenzar: Sea un número entero impar. ¿Se puede dividir aristas del gráfico completo en subconjuntos de tamaño modo que, para cada vértice, el número de subconjuntos que contienen aristas incidentes a ese vértice sea , para algunos ? Apuesto que sí para cualquier --- tome subconjuntos de vértices aleatorios de tamaño cada uno. Entonces, con alta probabilidad, cada vértice está en aproximadamente de los subconjuntos de vértices, y cada par está en aproximadamente

n \geq 1

$n \ge 1$

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$ de los subconjuntos. Ahora asigne los pares a subconjuntos ...

— Neal Young

En este caso, los nodos se pueden distribuir primero en conjuntos de tamaño (piense en los intervalos). Luego, cada contenedor obtiene el producto de dos de estos conjuntos (estoy considerando el gráfico dirigido completo, que es más fácil de establecer y asintóticamente no es muy diferente). Por lo tanto, cada vértice ocurre en contenedores, es decir, en este caso.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— Thomas S

Para el gráfico de estrellas ( bordes incidentes en un vértice ), el vértice debe estar en cada una de las subgrafías , por lo que para ese caso no es posible un límite menor que . Supongo que es por eso que restringe el grado máximo ? Tal vez podría decir algo más definitivo sobre eso, ya que parece ser una suposición crucial. Mientras tanto, dejé una observación (no una respuesta, ¡pero demasiado grande para caber como un comentario!) Como la respuesta a continuación.

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

Esta no es una respuesta. Es solo la observación algo trivial de que WLOG puede relajar el requisito de que existan exactamente subconjuntos de borde del mismo tamaño, y en su lugar solo busque cualquier número de subconjuntos de borde de tamaño . Quizás esto ayude a pensar sobre el problema. $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

Arregle cualquier gráfico y entero . Sea $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

Lema Suponga que hay subgrafos manera que separa en (cualquier número de) partes de tamaño . Deje ser el número máximo de partes en las que se encuentra cualquier vértice. $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$

Luego hay subgrafos tal que divide en exactamente partes de cada tamaño como máximo , y $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

Prueba. Comenzando con la secuencia , reemplace cada parte en la secuencia por cualquier secuencia ordenada de los bordes contenidos en esa parte. Sea la secuencia resultante (una permutación de tal que cada parte sea algún "intervalo" de los bordes en la secuencia). Ahora divida esta secuencia en subsecuencias contiguas de modo que cada una, excepto la última, tenga un tamaño , y deje que contenga los bordes en la ésima subsecuencia contigua. (Entonces $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ para .) $i<p$

Suponiendo que cada parte tiene tamaño , y por diseño cada parte excepto la última parte tiene tamaño , entonces (debido a la forma en que se define ) los bordes en cualquier parte dada se dividen en partes en . Esto, y la suposición de que cada vértice ocurre en la mayoría de las partes de , implica que cada vértice ocurre en la mayoría de las de las partes en . QED $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— Neal Young
fuente