¿Qué juegos 2P1R son potencialmente agudos?

Los juegos de dos rondas y una ronda (2P1R) son una herramienta esencial para la dureza de la aproximación. Específicamente, la repetición paralela de juegos de una ronda de dos probadores ofrece una forma de aumentar el tamaño de una brecha en la versión de decisión de un problema de aproximación. Vea la charla de encuesta de Ran Raz en CCC 2010 para obtener una descripción general del tema.

La repetición paralela de un juego tiene la sorprendente propiedad de que, si bien un verificador aleatorio funciona de manera independiente, los dos jugadores pueden jugar los juegos de forma no independiente para lograr un mayor éxito que jugar cada juego de forma independiente. La cantidad de éxito está limitada anteriormente por el teorema de repetición paralela de Raz:

Teorema : existe una constante universal $c$ modo que por cada juego 2P1R $G$ con valor $1-\epsilon$ y tamaño de respuesta $s$ , el valor del juego de repetición paralela $G^n$ es como máximo $(1-\epsilon^c)^{\Omega(n/s)}$ .

Aquí hay un resumen del trabajo de identificación de esta constante $c$ :

• El trabajo original de Raz prueba $c \leq 32$ .
• Holenstein mejoró esto a $c \leq 3$ .
• Rao demostró que $c' \leq 2$ suficiente (y se elimina la dependencia de $s$ ) para el caso especial de los juegos de proyección.
• Raz dio una estrategia para el juego de ciclo impar que mostró que el resultado de Rao es agudo para los juegos de proyección.

Por este cuerpo de trabajo, sabemos que $2 \leq c\leq 3$ . Mis dos preguntas son las siguientes:

Pregunta 1: ¿Los expertos en esta área tienen un consenso para el valor exacto de $c$ ?

Si se piensa que $c > 2$ , ¿hay juegos específicos que no sean proyectivos, pero que también violen específicamente las propiedades adicionales de los juegos de proyección que requiere la prueba de Rao?

$c > 2$

Según mi propia lectura, parece que la propiedad más importante de los juegos de proyección que usa Rao es que una buena estrategia para la repetición paralela no usaría muchas de las respuestas posibles para ciertas preguntas. Esto está relacionado de alguna manera con la localidad de los juegos de proyección.

Tiendo a creer que c = 3 es la respuesta correcta para el caso general, y que debería ser posible dar un ejemplo. Tendré que pensar más sobre eso para saber con seguridad. Es una buena pregunta, y no sé sobre el trabajo existente al respecto.

La investigación se centró recientemente en qué tipos de juegos tienen (mejor posible) c = 1, principalmente debido a posibles aplicaciones para la amplificación de juegos únicos.

• Barak et al generalizaron el contraejemplo de Raz a todos los juegos únicos con brechas SDP.
• Raz y Rosen mostraron que para expandir juegos de proyección c = 1. También hay resultados anteriores de un superconjunto de esos autores para juegos gratis.

Para poner las cosas en marcha, tengo un juego potencial y me gustaría recibir comentarios.

$k \geq 2$$m$$3k+1$$m \not\equiv 0 {\pmod {k+1}}$$C_{m}^k$$k+1$$C_m^k$$m$$m$$k$$k+1$$C_m^{k}$$\{1,\dots,k\}$ y coloreando los números en este orden, ya que cada conjunto de enteros secuenciales en formar una camarilla. Como no es un múltiplo de , habrá algún punto en el que este color falle.$\{0,\dots,m-1\}$$k+1$$\{0,\dots,m-1\}$$m$$k+1$

El verificador solicita un solo vértice de ambos jugadores, para verificar que los colores coinciden, o solicita un borde para verificar que los colores son diferentes.

Creo que este es un buen ejemplo por dos razones:

1. Es lo suficientemente similar al juego de ciclo impar como para que se pueda construir una estrategia similar al límite inferior de Raz. Una parte importante de esta estrategia es elegir colores al azar entre las repeticiones usando aleatoriedad compartida.

2. Al aleatorizar las permutaciones utilizadas en los colores generados aleatoriamente, el número de respuestas dadas en cada vértice abarca todo el conjunto de respuestas de manera uniforme, atacando la estrategia de Rao.

¿Ya se ha considerado / resuelto este juego?