Esta respuesta se basa en la idea de Dana en su respuesta anterior.
Creo que puede construir una matriz de este tipo utilizando condensadores con pérdida de dos fuentes. Arregle y diga N = 2 n . Suponga que tiene una función explícita f ( x , y ) que toma cualquier dos fuentes independientes aleatorios ( X , Y ) , cada uno de longitud n y que tienen min-entropía al menos k = n ( 1 / 2 - δ ) y emite una secuencia de de n ′ = n / 2δ=0.001N=2nf(x,y)(X,Y)nk=n(1/2−δ)n′=n/2bits que se -cerca de una distribución con min-entropía al menos k ' = n ( 1 / 2 - 3 δ ) . Creo que puede usar argumentos probabilísticos estándar para mostrar que una función aleatoria satisface estas propiedades (con una probabilidad abrumadora) si 2 k > k ′ + log ( 1 / ϵ ) + O ( 1 ) . El argumento probabilístico debe ser similar al utilizado en el siguiente documento para condensadores sin pérdidas y conductores más generales:ϵk′=n(1/2−3δ)2k>k′+log(1/ϵ)+O(1)
M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Aleatoriedad de conductores y expansión de grado constante más allá del grado / 2 barrera
En nuestro caso, establecemos , por lo que estamos seguros de la existencia de la función que necesitamos. Ahora, un argumento promedio muestra que hay una cadena z de n ′ bits tal que el número de ( x , y ) con f ( x , y ) = z es al menos 2 1.5 n . Supongamos que conoce tal z y lo arregla (puede elegir cualquier z arbitrariaϵ=2−k′n′z(x,y)f(x,y)=z21.5nzzsi además sabe que su función asigna la distribución completamente uniforme a una distribución que es -cierre a uniforme). Ahora identifique las entradas de su matriz N × N por las posibilidades de ( x , y ) y ponga un 1 en la posición ( x , y ) iff f ( x , y ) = z . Por nuestra elección de z , esta matriz tiene al menos 2 1.5 nO(2−n/2)N×N(x,y)1(x,y)f(x,y)=zz21.5n unos.
Ahora tome cualquier submatriz de y deje que X , Y sean distribuciones uniformes en las filas y columnas seleccionadas, respectivamente. Por la elección de f , sabemos que f ( X , Y ) está ϵ cerca de tener una entropía mínima k ′ . Por lo tanto, si elegimos una entrada aleatoria uniforme de la submatriz, la probabilidad de tener un 1 es como máximo 2 - k ′ + ϵ ≤ 2 - k ′ + 12k×2kX,Yff(X,Y)ϵk′12−k′+ϵ≤2−k′+1. Esto significa que tiene como máximo en la submatriz, según lo desee.22k−k′+1=O(2n/2+δ)
Por supuesto, llegar a una f explícita con los parámetros deseados (en particular, una longitud de salida casi óptima) es una tarea muy desafiante y no se conoce tal función hasta ahora.f